Вязкость порядка ε

Используя далее на каждом шаге решение с предыдущего шага и исключая вековые члены во время интегрирования, приходим к следующей системе разрешающих уравнений для случая с вязкостью порядка εпри к = 1:

где cc- сопряженная часть к предыдущим членам.

Из уравнений (2.41)-(2.43) видно, что на этом шаге возможны следующие типы внутреннего резонанса:

(1) внутренний резонанс два-к-одному, когда одна собственная частота в два раза больше другой собственной частоты,

(2) внутренний резонанс один-к-одному-к-двум, когда

Таким образом, на шаге εбыли получены три вида внутреннего резонанса, один из которых (1:1:2) имеет место только во время взаимодействия всех трех доминирующих мод нелинейных колебаний тонкой прямоугольной упругой пластинки.

2.2.2 Вязкость порядка ε²

Теперь рассмотрим колебания нелинейной пластины в случае вязкости ε², подставляя к= 2 в систему уравнений движения (2.36), и используя (2.38) для правых частей, получим [230]:

Предполагая, что собственные частоты ω_j (j = 1,2,3) принимают значения, не удовлетворяющие случаям для внутренних резонансов порядка ε, устраним

вековые члены, т.е. положим D₁A_j(T₂) = O.Тогда решение системы уравнений (2.47) примет вид:

где F_j(T₂) (j = 1,2,3) - новые функции, которые необходимо определить, а коэффициенты k_i (i = 1,2,...,8 ) имеют вид

Подставляя (2.38) и (2.48) в правые части уравнений (2.37) при k = 2, имеем

59

Из уравнений (2.49)-(2.51) следует, что на этом шаге могут иметь место следующие типы внутреннего резонанса:

(1) внутренний резонанс один-к-одному, когда одна собственная частота приблизительно равна другой собственной частоте,

(2) внутренний резонанс один-к-одному-к-одному

(3) комбинационный резонанс аддитивно-разностного типа, то есть

60

Таким образом, на шаге ε²получено семь типов внутреннего резонанса, четыре из которых соответствуют взаимодействию сразу трех доминирующих мод нелинейных колебаний тонкой прямоугольной упругой пластинки.

2.2.