ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследований. Необходимость в изучении динамического поведения пластинчатых элементов с каждым годом возрастает ввиду технологического прорыва во многих отраслях промышленности.

Исследование вынужденных нелинейных колебаний пластин является неотъемлемой составляющей строительной механики, поскольку пластинки применяются в качестве конструктивных элементов при строительстве зданий и сооружений. На сегодняшний день существуют различные методы исследования вынужденных нелинейных колебаний пластинок: аналитические,

экспериментальные и численные. Согласование результатов всех перечисленных методов между собой является первостепенной задачей, влекущей за собой возникновение новых методов, способов, теорий, на выходе которых получим достоверные результаты.

Актуальность исследований вынужденных затухающих нелинейных колебаний тонких пластинок обусловлена необходимостью достоверного определения различных динамических характеристик пластинчатых конструкций, которые напрямую связаны с формами колебаний и отношениями между амплитудами и частотами. Колебательный процесс пластинки может сопровождаться внутренним резонансом. Таким образом. возникновение внутреннего резонанса может привести к особому взаимодействию возбужденных форм колебаний, вследствие чего происходит перекачка энергии между определенными модами.

Для описания сил демпфирования среды, в которой колеблется пластинка, в инженерном деле чаще всего используется вязкоупругая модель Кельвина- Фойгта. Согласно этой модели, реологические свойства среды описываются

слагаемыми, пропорциональными производной первого порядка по времени от перемещений.

В настоящее время дробное исчисление широко используется для решения линейных и нелинейных динамических задач строительной механики, о чем свидетельствуют многочисленные исследования в этой области, обзор которых можно найти в работах проф. Россихина Ю. А. и проф. Шитиковой М. В. [199, 201], где приведены многочисленные примеры использования дробных производных в моделях Кельвина-Фойгта, Максвелла и стандартного линейного твердого тела при изучении динамического поведения осцилляторов, стержней, балок, пластин и оболочек. Применение дробной производной позволяет получить результаты, находящиеся в хорошем соответствии с экспериментальными данными, в отличие от классической модели Кельвина- Фойгта, а также сократить время, необходимое для численной реализации поставленной задачи.

Нелинейные колебания конструкций, в отличие от линейных, обладают рядом характерных, присущих только им, особенностей. Одной из них является перекачка энергии между различными подсистемами при наступлении внутреннего резонанса, который можно определить как явление, имеющее необратимый характер для конструкции, устранение которого возможно только с изменением геометрии определенного элемента или граничных условий, что зачастую невозможно осуществить в натурных условиях. Описанный тип резонанса можно охарактеризовать как конструкционный резонанс, поскольку внешний резонанс, например, можно устранить путем простейшего изменения частоты возмущающей гармонической силы. Оба типа резонансов по отдельности являются крайне неблагоприятными явлениями, а их сочетание может привести к выходу из строя не только одного конструктивного элемента, но и всей конструкции в целом. Сочетания такого рода резонансов разнообразны, поэтому для начала необходимо детально рассмотреть по отдельности все возможные случаи внутренних резонансов с последующими исследованиями их сочетаний.

Степень разработанности темы исследования.

Вопросу использования дробных производных в нелинейной динамике пластинок посвятили свои работы Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, W. Chen, K. Hedrih, W. Xu, M. C. Ray, J. T. Katsikadelis, L. Kou, R. Lewandowski, P.D. Spanos и другие исследователи.

Динамическое поведение пластинок на упругом или вязкоупругом основании рассмотрели в своих трудах А.Н. Динник, А.М. Доронин, В. А. Соболева, Б.Г. Коренев, Е.А. Палатников, А.П. Синицын, Г. С Шапиро, В.И. Колчунов, В. А. Гордон и другие авторы.

Научно-техническая гипотеза состоит в том, что при нелинейных колебаниях упругих тонких пластинок возможно проявление внутреннего резонанса, в том числе и в сочетании с внешним резонансом.

Объект исследования - тонкие нелинейные упругие прямоугольные пластинки.

Предмет исследования - модуляция амплитуд и фаз нелинейных колебаний тонких упругих прямоугольных пластинок при свободных и вынужденных затухающих колебаниях.

Цель диссертационной работы. Постановка и решение задачи о нелинейных затухающих колебаниях, вызванных внешним гармоническим воздействием в виде вертикальной сосредоточенной силы, приложенной перпендикулярно к срединной плоскости пластинки, с учетом сочетания внешнего и внутреннего резонансов при наличии демпфирования, которое описывается реологической моделью, содержащей дробную производную.

Задачи диссертации:

1) Разработать алгоритм определения амплитуд при помощи численного метода и сравнить в дальнейшем с численно-аналитическим методом.

2) Изучить влияние параметра дробности на процесс перекачки энергии, происходящий при затухающих нелинейных свободных и вынужденных колебаниях пластинок, находящихся в условиях внутреннего резонанса;

3) Исследовать влияния малой вязкости на характер колебательных режимов пластинки, движения которой описываются системой трех нелинейных уравнений, в условиях всех возможных внутренних резонансов.

4) Исследовать характер поведения амплитуд при наличии расстройки между частотами и оценить ее влияние на характер колебаний пластинки.

Научная новизна работы заключается в том, что

- решена задача о вынужденных нелинейных затухающих колебаниях тонких упругих пластинок в среде, демпфирующие свойства которой определяются дробными производными, в случае, когда колебательные движения описываются системой трех нелинейных уравнений со связанными линейными частями относительно трех перемещений в трех взаимно перпендикулярных направлениях;

- получена система разрешающих уравнений при помощи обобщенного метода многих временных масштабов, которая описывает модуляцию амплитуд и фаз нелинейных затухающих колебаний шарнирно опертой пластинки, и выполнено ее численное решение при помощи алгоритма Рунге-Кутта четвертого порядка и приближенное аналитическое решение методом вариации произвольной постоянной;

- изучено влияние параметра дробности и амплитуды внешнего гармонического воздействия на характер нелинейных колебаний пластинки и на механизм перекачки энергии между взаимодействующими нелинейными модами колебаний;

- проанализировано влияние расстройки между собственными частотами и частотой внешнего воздействия на характер поведения амплитуд на основе анализа систем шести связанных нелинейных дифференциальных уравнений для различных типов комбинационных резонансов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Явление внутреннего резонанса требует серьезного изучения, поскольку в тонкой пластине всегда присутствуют какие-либо из десяти найденных типов внутреннего резонанса. Полученные в диссертационной работе результаты и разработанный программный комплекс, который зарегистрирован в государственном реестре программ для ЭВМ, могут быть использованы проектными и научно­исследовательскими организациями при проектировании конструкций, которые в процессе колебаний могут оказаться не только в условиях различных внутренних резонансов, но и сопровождаться внешним резонансом.

При наличии возмущающей гармонической силы данный подход позволит избегать наложения внешнего резонанса на внутренний, поскольку такое наложение может привести к необратимым последствиям.

Положения, выносимые на защиту:

- постановка задачи о вынужденных нелинейных затухающих колебаниях пластинки в среде, демпфирующие свойства которой описываются реологической моделью с дробной производной по времени;

- алгоритм определения геометрических параметров, при которых возможно возникновение в пластинке различных типов внутреннего резонанса;

- алгоритм расчета нелинейных тонких упругих прямоугольных пластинок, шарнирно опертых по контуру и колеблющихся в среде, описанной реологической моделью, содержащей дробную производную;

- анализ результатов численных исследований модуляции амплитудно­частотных характеристик шарнирно-опертой пластинки для 10 типов внутреннего резонанса при свободных и вынужденных колебаниях;

- решение задачи о нелинейных колебаниях пластинки, лежащей на вязкоупругом основании, демпфирующие свойства которой описываются реологической моделью с дробной производной по времени.

Степень достоверности базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе результаты согласуются с общими физическими представлениями. Правильность полученных результатов определяется корректностью математических выкладок и сопоставлением с известными результатами других авторов.

Реализация работы:

- разработан программный комплекс численного исследования нелинейных колебаний прямоугольных пластинок в условиях сочетания внутреннего и внешнего резонансов и получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019616176;

- результаты выполненных исследований внедрены в проектной организации «ООО Группа Пятый Сезон».

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: XLIV International Conference “Advanced Problems in Mechanics” (Санкт-Петербург, 2016); Х Всероссийской конференции по механике деформируемого твердого тела (Самара, 2017); EURODYN 2017 - X International Conference on Structural Dynamics (Рим, 2017); VII международном симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (APCSCE 2018) (Новосибирск, 2018); на юбилейной ХХХ международной инновационной конференции молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (Москва, 2018); на

конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2018); 20-ой международной научно-технической

конференции «Актуальные проблемы строительства, строительной индустрии и архитектуры» (Тула, 2019); 2nd International Conference on Mathematical Modelling in Applied Sciences ICMMAS'19 (Белгород, 2019).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 научных работ, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ, 5 статей в изданиях, индексируемых в научных базах данных Scopus и Web of Science, и 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы и 2-х приложений. Полный объем работы составляет 164 страниц, в том числе 126 страниц основного текста, который иллюстрируется 41 рисунками и 1 таблицей. Список литературы содержит 269 источников, в том числе 220 иностранных.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе приводится обзор существующей литературы о нелинейных колебаниях пластинок, материал которых описывается различными моделями. Наряду с классическим использованием в динамических задачах производной первого порядка по времени применяется дробная производная, позволяющая варьировать не только свойствами материала, но и вязкостью среды. Приведены работы, в которых используются дробные производные в моделях Кельвина- Фойгта, Максвелла и стандартного линейного твердого тела. Кратко описана история обнаружения явления внутреннего резонанса в висячих мостах. Рассмотрены экспериментальные и теоретические исследования свободных и вынужденных нелинейных затухающих колебаний пластинок в условиях внутреннего резонанса. Приведены определяющие уравнения Муштари-Власова. Также дан краткий обзор исследований пластинок на упругом и вязкоупругом основании.

Вторая глава посвящена вынужденным нелинейным затухающим колебаниям упругих пластин, шарнирно опертых по контуру, в среде, демпфирующие свойства которой определяются дробными производными по времени, в случае, когда колебательные движения описываются системой трех

нелинейных уравнений Муштари-Власова относительно трех перемещений в трех взаимно перпендикулярных направлениях, линейные части которых взаимосвязаны. В качестве метода решения нелинейных уравнений используется обобщенный метод многих временных масштабов, который является одним из методов теории возмущений.

Приведена классификация типов внутреннего резонанса в зависимости от порядка малости вязкости, учитываемой в уравнениях колебаний. Получены системы разрешающих уравнений для амплитуд и фаз колебаний в случае сочетаний внутреннего и внешнего резонансов.

В третьей главе приведены результаты численных исследований всех случаев сочетания внешнего и десяти типов внутреннего резонанса при произвольном значении параметра дробности 0 < γ ≤ 1. Для случая два-к-одному проведено сравнение результатов, полученных численным и аналитическим методами. Найдены перемещения точек срединной поверхности и изгибающие моменты при свободных и вынужденных затухающих колебаниях, проанализированы стационарные колебания на фазовой плоскости. Исследовано влияние расстройки между собственными частотами и частотой внешней возмущающей силы. Для сочетания внешнего и внутреннего резонанса один-к- одному проведены численные исследования на фазовой плоскости.

В четвертой главе исследованы свободные и вынужденные нелинейные затухающие колебания упругой пластинки, шарнирно опертой по контуру на вязкоупругом основании, колеблющейся в среде, демпфирующие свойства которой описаны дробной производной по времени. Получена разрешающая система нелинейных дифференциальных уравнений, которая позволяют численно исследовать динамическое поведение пластинки в зависимости от варьирования параметром дробности как среды, так и вязкоупругого основания.