<<
>>

Внутренний резонанс

Колебательный процесс пластинок может сопровождаться критическим увеличением значений амплитуд колебаний без значительных начальных перемещений или внешнего воздействия. Данный эффект обусловлен перекачкой энергии между взаимодействующими модами колебаний, т.е.

внутренним резонансом. Внутренний резонанс может наблюдаться в случае некоторой комбинации собственных частот одного и того же типа колебаний [161]. Таким образом, нелинейные колебания прямоугольных пластин, динамическое поведение которых описывается уравнениями фон Кармана относительно функции перемещения пластины и функции напряжения, были рассмотрены в [99] путем сведения основных уравнений к системе из двух модальных уравнений при помощи процедуры Галеркина. Был изучен случай внутреннего резонанса «один-к-одному» (когда частоты двух мод изгибных колебаний равны друг другу), сопровождаемого внешним резонансом (частота гармонической возмущающей силы близка к одной из собственных частот). Модель фон Кармана [137] широко используется для нелинейной постановки задач пластинок по сравнению с классическими линейными уравнениями пластинки Кирхгофа [101,163]. Так, в работе [110] рассматривались свободные и вынужденные нелинейные колебания шарнирно опертой пластинки с использованием уравнений фон Кармана и наложением случая внутреннего резонанса 1:1. Данный тип уравнений также рассматривал Ribeiro в [191], использовав метод гармонического баланса. Теорию Кармана также используют в [185] для прямоугольных пластинок, где сравнивается аналитический метод гомотопического возмущения и численный. Для исследования внутреннего резонанса использовался метод

иерархического конечного элемента. Получены формы колебаний для резонанса 1:1, где мода в плоскости пластинки соизмерима с модой из плоскости.

Внутренний резонанс "один-к-одному" исследован в [77] и [135] для нелинейных вертикальных колебаний прямоугольных пластин под действием гармонических сил, действующих в плоскости пластины [77] и вне плоскости [77, 135], при этом система из трех уравнений относительно двух перемещений в плоскости и одного из плоскости пластинки, а также система из пяти уравнений с учетом сдвиговых деформаций были использованы в [75] и [133], соответственно.

Учитывая силы инерции только для вертикальных колебаний и используя процедуру Галеркина, в обеих работах была получена система из двух нелинейных уравнений для двух изгибных мод нелинейных колебаний, которые, как предполагается, связаны между собой внутренним резонансом «один-к- одному». В [75] взаимодействуют моды из разных плоскостей, в отличие от работы [99], где рассматриваются моды в одном направлении. В [110] произведен сравнительный анализ для свободных и вынужденных колебаний методом Галеркина на основе многочисленных данных о спектрах частот колебаний, которые были сведены в таблицы в зависимости от геометрических параметров пластинки [147] и в конечно-разностные схемы (предложенные Bilbao), где нагрузку представили в виде: δ(x - x0) f cosΩt (δ-функция Дирака). Феноменологический анализ данного типа внутреннего резонанса также изучался в [212]. Профессорами Россихиным Ю. А. и Шитиковой М. В. рассматривался данный тип соответствия между собственными частотами, когда одна частота колебаний в плоскости равна другой частоте как в плоскости, так и из плоскости пластинки (внутренний резонанс 1:1 [196, 210]). В оболочках данное отношение частот также является актуальным [54].

Резонанс два-к-одному, когда одна частота в два раза превышает другую, подробно исследован в работах [203, 210]. Для первых двух собственных мод изгибных колебаний случаи внутренних резонансов 1: 2 также изучались в [248] и [244] для гиперупругой пластинки, жестко закрепленной со всех сторон, где кроме аналитического метода были использованы два численных метода: первый

подразумевает материал Муни-Ривлина, описывающий гиперупругие свойства и осуществленный в инженерном математическом программном обеспечении MathCad. Второй осуществлялся в программном комплексе конечных элементов Ansys [107] при помощи метода подвижных асимптот. Примем во внимание, что авторами частота внешнего воздействия представлена в виде: Ω = ω2 + ησ2, где ω2 - собственная частота пластинки, η- безразмерный малый параметр.

Такое же соотношение частот используется в [199]. Следует отметить, что основоположниками в этом направлении является Витт и Горелик [8], которые первыми применили теоретический и экспериментальный анализ переноса энергии от одной подсистемы к другой, используя, как пример, простейшую механическую систему с двумя степенями свободы.

Поскольку в [210] рассматривалась система трех нелинейных дифференциальных уравнений в трех взаимно ортогональных перемещениях с учетом инерции всех типов колебаний, то это позволило авторам дополнительно изучить комбинационные резонансы аддитивного и разностного типов [210,, 232, 233], в отличие от которых в [40, 213] уравнения не разделялись, что в некотором роде усложнило поставленную задачу. Комбинационные типы внутреннего резонанса приводят к обмену энергией между тремя или более подсистемами, что делает их одними из самых опасных случаев. В диссертационной работе Голубкова А. В. [11] было произведено систематическое исследование

параметрических колебаний в условиях комбинационных резонансов аддитивного и разностного типов при гармоническом и полигармоническом возбуждении с учетом нелинейных диссипативных и восстанавливающих сил, а также сил сухого трения на основе первого приближения метода Крылова-Боголюбова и численного моделирования на ЭВМ. В [146] рассматривался комбинационный резонанс жестко закрепленной по контуру круглой пластинки типа ω3 ≈ ω1 + 2ω2, также частота внешнего воздействия бралась в следующих двух формах Ω ≈ 2ω12и ω3 ≈ ω12 + ω3. Уравнение движения было взято из работ Найфэ и Мук [172] и Хадиан и Найфэ [126]. Следует отметить, что данный тип резонанса

имеет порядок ελ. Наряду с комбинационным резонансом особый интерес к себе вызывает внутренний резонанс типа 1:1:1, где также взаимосвязаны все три рассматриваемые моды нелинейных колебаний [211]. Hadian и Nayfeh [126] использовали метод многих временных масштабов для анализа асимметричных колебаний нелинейной круглой пластинки при гармоническом воздействии и при наличии внутреннего комбинационного резонанса.

Резонансы два-к-одному и 1:1:2 при свободных колебаниях пластинок рассматривались в работах [205, 193]. Нелинейные изгибные колебания

прямоугольной пластинки изучались в [89], где внешнее воздействие на пластинку приложено в её же плоскости. В статье [177] рассмотрены параметрические резонансы: супергармонический и субгармонический типы для вязкоупругой пластинки. Поведение вязкоупругой пластинки описывается дробной производной Кельвина-Фойгта при помощи операторов. Для решения уравнений используется метод многих временных масштабов, что позволило получить численные исследования свободно опертой пластинки и пластинки, жестко закрепленной со всех сторон. Резонанс на примере нелинейных колебаний ортотропных пластинок изучался в работе [115], где для рассмотрения брались две моды колебаний в разных плоскостях, а частота внешней силы равнялась: Ω = ω1 + εσ1. Вынужденные нелинейные колебания прямоугольных пластинок рассматривались в [91, 215], с учетом внутреннего резонанса 3:1 в [97]. Данный тип внутреннего резонанса с учетом внешней возмущающей силы был также исследован в вязкоупругой пластинке [243]. Внутренний резонанс 3:1 рассмотрел также Min Sun [239], взяв за основу классическую теорию деформации пластин и нелинейные уравнения Кармана, связывающие деформации и перемещения в гибких пластинках. Получены дифференциальные уравнения движения изотропных прямоугольных пластин в безразмерной форме при помощи принципа Гамильтона, а также построены зависимости собственных частот колебаний от амплитуд возмущающей силы при помощи численного метода Рунге-Кутта. Многообразие нелинейных резонансов и подробное их описание можно найти в книге [183].

В статье [249] был рассмотрен внутренний резонанс 3:1 для нанопластинки на упругом основании, состоящей из двух слоев, на которую воздействовали гармонической нагрузкой. Авторами использовалась система из двух уравнений, где моды колебаний рассматривались в разных плоскостях, при этом поочередно каждая из них приравнивалась к частоте внешнего воздействия. Заметим, что нагрузка задана в виде распределенной нагрузки p = f cos Ω t. При этом используются преобразованные уравнения Муштари-Власова, записанные в безразмерном виде. Функции амплитуд колебаний раскладываются в степенные ряды по малому параметру и зависят от различных масштабов времени, в качестве метода решения нелинейных уравнений используется метод многих временных масштабов, который является одним из методов теории возмущений [27].

Сочетание внутреннего (тип 1:2) и внешнего резонанса в тавровой балке рассматривалось в [167], где сравнивались теоретические результаты с учетом расстроек и полученные экспериментальные данные. В статье [130] изучалось сочетание внутреннего и внешнего резонансов для прямоугольной пластинки, где Hegazy учитывал две собственные частоты в плоскости пластинки, а вынужденная частота направлена перпендикулярно плоскости, причем сила задается вертикально распределенной нагрузкой. Решение ищется с помощью метода многих временных масштабов для случая внутреннего резонанса типа 1:1, а частота внешнего воздействия задается следующим способом: Ω = ω1 + εσ1= O2 + εσ2. В статье рассмотрены отдельно случаи внешнего резонанса, когда Ω = O1или Ω = O2, и случай, когда происходит наложение внутреннего резонанса на внешний Ω = O1 = O2.Численные результаты показали, что третий случай является наиболее опасным, чем, например, при обыкновенном внешнем резонансе. В работе [129] автор использует систему двух уравнений, а также метод многих временных масштабов для переопределения перемещений точек срединной плоскости пластинки в условиях сочетания внутреннего O1= O2 и внешнего Ω1? 2o11? 2o2) резонансов. Отечественными авторами также рассматривался резонанс собственных частот 1:1, 1:2 и 1:3 пластинки в

сверхзвуковом потоке [23]. Сочетание внутреннего и внешнего резонансов изучалось для балок и канатов в [255]. Внутренний резонанс в конструкциях с различными геометрическими параметрами был исследован в [222].

В работе [242] аналитически и численно исследованы нелинейные колебания с учетом параметрических и внутренних резонансов вязкоупругих пластин, подверженных гармоническому воздействию. Рассматривается пластинка Кирхгофа-Лява, для которой основное уравнение с учетом граничных условий получено при помощи обобщенного принципа Гамильтона. Для описания вязкоупругих свойств материала использовалась модель Кельвина-Фойгта. Для решения применялся метод многих временных масштабов. Устойчивые отклики рассматриваемой системы прогнозировались в трех возможных схемах: тривиальные, одномодальные и двухмодальные решения. Стабильность устойчивых откликов авторами определяется на основе критерия Рауса-Гурвица. Численные расчеты подтверждают приближенные аналитические результаты относительно тривиального и одномодального решений стационарных откликов, где авторами также учитывалась расстройка между частотами.

Глобальные бифуркации и хаотическая динамика параметрически возбужденных колебаний свободно опертых по контуру прямоугольных тонких пластинок были изучены в [264]. Для уравнения движения пластинки использовались уравнения фон Кармана, решение которых находилось при помощи метода Галеркина. Численные исследования проводились в программном комплексе Maple. Хаотическое движение тонкой пластины найдено путем численного моделирования, где был рассмотрен случай внутреннего резонанса 1:1. Данный тип резонанса, а также комбинационные резонансы подробно рассматривались для нелинейных вязкоупругих пластин в диссертационной работе [31].

Sassi и Ostiguy [218] учли геометрические начальные неровности в условиях вынужденных и параметрических колебаний свободно опертой прямоугольной пластинки. Nayfeh and Vakakis [174] использовали метод многих временных масштабов для изучения субгармонических волн в тонких, осесимметричных,

геометрически нелинейных круговых пластинках и обнаружили нелинейные взаимодействия пар мод с совпадающими собственными частотами в одной плоскости. В [99] Chang и Bajaj исследовали бифуркации и хаос прямоугольной тонкой пластины с внутренним резонансом 1:1. В [174] рассматривается тонкая многослойная пластинка, подвергнутая гармоническому возбуждению.

Экспериментальные исследования нелинейных колебаний композитной многослойной прямоугольной тонкой пластины были проведены в [125]. Guo и Zhang обнаружили новый тип нелинейного резонансного движения в армированной волокнами композитной многослойной прямоугольной тонкой пластине. Исследуемая система представляла собой свободно опертую симметричную многослойную композитную прямоугольную тонкую пластину, подвергнутую параметрическому возбуждению, частота которого близка к собственной частоте первого порядка пластины. Из экспериментальных результатов установлено, что нелинейные динамические характеристики состоят из четырех мод, чьи частоты включают в себя более низкие частоты. Метод Галеркина используется для дискретизации дифференциального уравнения в частных производных, определяющего уравнения движения для композитной многослойной прямоугольной тонкой пластины [93]. Результаты численного моделирования хорошо согласуются с экспериментальными результатами. Кроме того, были обнаружены многоимпульсные хаотические движения.

1.2.2.

<< | >>
Источник: Канду Владимир Валерьевич. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИИ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК, НАХОДЯЩИХСЯ В УСЛОВИЯХ ВНУТРЕННЕГО И ВНЕШНЕГО РЕЗОНАНСОВ. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Воронеж - 2019. 2019

Еще по теме Внутренний резонанс:

  1. Внутренний резонанс 1:1:2
  2. Численные исследования внутреннего резонанса 1:1:2
  3. Внутренний резонанс 1:1:1
  4. Численныеисследования внутреннего резонанса 1:1:1
  5. Численные исследования внутреннего резонанса два-к-одному
  6. 3.4. Численные исследования внутреннего резонанса 1:1
  7. Висячие мосты и их роль в обнаружении внутреннего резонанса
  8. Явление внутреннего резонанса при нелинейных колебаниях.
  9. ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНОК В УСЛОВИЯХ СОЧЕТАНИЯ ВНУТРЕННЕГО И ВНЕШНЕГО РЕЗОНАНСОВ
  10. На данном шаге были получены три типа внутреннего резонанса (2.44)-(2.46), рассмотрим подробно каждый их них.
  11. Нелинейные разрешающие дифференциальные уравнения, описывающие амплитудно-фазовую модуляцию для различных типов внутреннего резонанса порядка ε