Внутренний резонанс

Колебательный процесс пластинок может сопровождаться критическим увеличением значений амплитуд колебаний без значительных начальных перемещений или внешнего воздействия. Данный эффект обусловлен перекачкой энергии между взаимодействующими модами колебаний, т.е.

иерархического конечного элемента. Получены формы колебаний для резонанса 1:1, где мода в плоскости пластинки соизмерима с модой из плоскости.

Внутренний резонанс "один-к-одному" исследован в [77] и [135] для нелинейных вертикальных колебаний прямоугольных пластин под действием гармонических сил, действующих в плоскости пластины [77] и вне плоскости [77, 135], при этом система из трех уравнений относительно двух перемещений в плоскости и одного из плоскости пластинки, а также система из пяти уравнений с учетом сдвиговых деформаций были использованы в [75] и [133], соответственно.

Резонанс два-к-одному, когда одна частота в два раза превышает другую, подробно исследован в работах [203, 210]. Для первых двух собственных мод изгибных колебаний случаи внутренних резонансов 1: 2 также изучались в [248] и [244] для гиперупругой пластинки, жестко закрепленной со всех сторон, где кроме аналитического метода были использованы два численных метода: первый

подразумевает материал Муни-Ривлина, описывающий гиперупругие свойства и осуществленный в инженерном математическом программном обеспечении MathCad. Второй осуществлялся в программном комплексе конечных элементов Ansys [107] при помощи метода подвижных асимптот. Примем во внимание, что авторами частота внешнего воздействия представлена в виде: Ω = ω₂ + ησ₂, где ω₂ - собственная частота пластинки, η- безразмерный малый параметр.

Поскольку в [210] рассматривалась система трех нелинейных дифференциальных уравнений в трех взаимно ортогональных перемещениях с учетом инерции всех типов колебаний, то это позволило авторам дополнительно изучить комбинационные резонансы аддитивного и разностного типов [210,, 232, 233], в отличие от которых в [40, 213] уравнения не разделялись, что в некотором роде усложнило поставленную задачу. Комбинационные типы внутреннего резонанса приводят к обмену энергией между тремя или более подсистемами, что делает их одними из самых опасных случаев. В диссертационной работе Голубкова А. В. [11] было произведено систематическое исследование

параметрических колебаний в условиях комбинационных резонансов аддитивного и разностного типов при гармоническом и полигармоническом возбуждении с учетом нелинейных диссипативных и восстанавливающих сил, а также сил сухого трения на основе первого приближения метода Крылова-Боголюбова и численного моделирования на ЭВМ. В [146] рассматривался комбинационный резонанс жестко закрепленной по контуру круглой пластинки типа ω₃ ≈ ω₁ + 2ω₂, также частота внешнего воздействия бралась в следующих двух формах Ω ≈ 2ω₁+ω₂и ω₃ ≈ ω₁-ω₂ + ω₃. Уравнение движения было взято из работ Найфэ и Мук [172] и Хадиан и Найфэ [126]. Следует отметить, что данный тип резонанса

имеет порядок ε^λ. Наряду с комбинационным резонансом особый интерес к себе вызывает внутренний резонанс типа 1:1:1, где также взаимосвязаны все три рассматриваемые моды нелинейных колебаний [211].

Резонансы два-к-одному и 1:1:2 при свободных колебаниях пластинок рассматривались в работах [205, 193]. Нелинейные изгибные колебания

прямоугольной пластинки изучались в [89], где внешнее воздействие на пластинку приложено в её же плоскости. В статье [177] рассмотрены параметрические резонансы: супергармонический и субгармонический типы для вязкоупругой пластинки. Поведение вязкоупругой пластинки описывается дробной производной Кельвина-Фойгта при помощи операторов. Для решения уравнений используется метод многих временных масштабов, что позволило получить численные исследования свободно опертой пластинки и пластинки, жестко закрепленной со всех сторон. Резонанс на примере нелинейных колебаний ортотропных пластинок изучался в работе [115], где для рассмотрения брались две моды колебаний в разных плоскостях, а частота внешней силы равнялась: Ω = ω₁ + εσ₁. Вынужденные нелинейные колебания прямоугольных пластинок рассматривались в [91, 215], с учетом внутреннего резонанса 3:1 в [97]. Данный тип внутреннего резонанса с учетом внешней возмущающей силы был также исследован в вязкоупругой пластинке [243]. Внутренний резонанс 3:1 рассмотрел также Min Sun [239], взяв за основу классическую теорию деформации пластин и нелинейные уравнения Кармана, связывающие деформации и перемещения в гибких пластинках. Получены дифференциальные уравнения движения изотропных прямоугольных пластин в безразмерной форме при помощи принципа Гамильтона, а также построены зависимости собственных частот колебаний от амплитуд возмущающей силы при помощи численного метода Рунге-Кутта. Многообразие нелинейных резонансов и подробное их описание можно найти в книге [183].

В статье [249] был рассмотрен внутренний резонанс 3:1 для нанопластинки на упругом основании, состоящей из двух слоев, на которую воздействовали гармонической нагрузкой.

Сочетание внутреннего (тип 1:2) и внешнего резонанса в тавровой балке рассматривалось в [167], где сравнивались теоретические результаты с учетом расстроек и полученные экспериментальные данные. В статье [130] изучалось сочетание внутреннего и внешнего резонансов для прямоугольной пластинки, где Hegazy учитывал две собственные частоты в плоскости пластинки, а вынужденная частота направлена перпендикулярно плоскости, причем сила задается вертикально распределенной нагрузкой. Решение ищется с помощью метода многих временных масштабов для случая внутреннего резонанса типа 1:1, а частота внешнего воздействия задается следующим способом: Ω = ω₁ + εσ₁= O₂ + εσ₂. В статье рассмотрены отдельно случаи внешнего резонанса, когда Ω = O₁или Ω = O₂, и случай, когда происходит наложение внутреннего резонанса на внешний Ω = O₁ = O₂.Численные результаты показали, что третий случай является наиболее опасным, чем, например, при обыкновенном внешнем резонансе. В работе [129] автор использует систему двух уравнений, а также метод многих временных масштабов для переопределения перемещений точек срединной плоскости пластинки в условиях сочетания внутреннего O₁= O₂ и внешнего Ω₁? 2o₁ (Ω₁? 2o₂) резонансов.

сверхзвуковом потоке [23]. Сочетание внутреннего и внешнего резонансов изучалось для балок и канатов в [255]. Внутренний резонанс в конструкциях с различными геометрическими параметрами был исследован в [222].

В работе [242] аналитически и численно исследованы нелинейные колебания с учетом параметрических и внутренних резонансов вязкоупругих пластин, подверженных гармоническому воздействию. Рассматривается пластинка Кирхгофа-Лява, для которой основное уравнение с учетом граничных условий получено при помощи обобщенного принципа Гамильтона. Для описания вязкоупругих свойств материала использовалась модель Кельвина-Фойгта. Для решения применялся метод многих временных масштабов. Устойчивые отклики рассматриваемой системы прогнозировались в трех возможных схемах: тривиальные, одномодальные и двухмодальные решения. Стабильность устойчивых откликов авторами определяется на основе критерия Рауса-Гурвица. Численные расчеты подтверждают приближенные аналитические результаты относительно тривиального и одномодального решений стационарных откликов, где авторами также учитывалась расстройка между частотами.

Глобальные бифуркации и хаотическая динамика параметрически возбужденных колебаний свободно опертых по контуру прямоугольных тонких пластинок были изучены в [264]. Для уравнения движения пластинки использовались уравнения фон Кармана, решение которых находилось при помощи метода Галеркина. Численные исследования проводились в программном комплексе Maple. Хаотическое движение тонкой пластины найдено путем численного моделирования, где был рассмотрен случай внутреннего резонанса 1:1. Данный тип резонанса, а также комбинационные резонансы подробно рассматривались для нелинейных вязкоупругих пластин в диссертационной работе [31].

Sassi и Ostiguy [218] учли геометрические начальные неровности в условиях вынужденных и параметрических колебаний свободно опертой прямоугольной пластинки. Nayfeh and Vakakis [174] использовали метод многих временных масштабов для изучения субгармонических волн в тонких, осесимметричных,

геометрически нелинейных круговых пластинках и обнаружили нелинейные взаимодействия пар мод с совпадающими собственными частотами в одной плоскости. В [99] Chang и Bajaj исследовали бифуркации и хаос прямоугольной тонкой пластины с внутренним резонансом 1:1. В [174] рассматривается тонкая многослойная пластинка, подвергнутая гармоническому возбуждению.

Экспериментальные исследования нелинейных колебаний композитной многослойной прямоугольной тонкой пластины были проведены в [125]. Guo и Zhang обнаружили новый тип нелинейного резонансного движения в армированной волокнами композитной многослойной прямоугольной тонкой пластине. Исследуемая система представляла собой свободно опертую симметричную многослойную композитную прямоугольную тонкую пластину, подвергнутую параметрическому возбуждению, частота которого близка к собственной частоте первого порядка пластины. Из экспериментальных результатов установлено, что нелинейные динамические характеристики состоят из четырех мод, чьи частоты включают в себя более низкие частоты. Метод Галеркина используется для дискретизации дифференциального уравнения в частных производных, определяющего уравнения движения для композитной многослойной прямоугольной тонкой пластины [93]. Результаты численного моделирования хорошо согласуются с экспериментальными результатами. Кроме того, были обнаружены многоимпульсные хаотические движения.

1.2.2.