Уравнения Муштари-Власова для моделирования нелинейного динамического поведения оболочек и пластинок

При установлении модели, представляющей в теоретических исследованиях реальные оболочки, необходимо сделать ряд допущений [9]. Рассмотрим однослойную оболочку из однородного изотропного материала.

отбрасываем эффекты пластической или вязкопластической деформации, что потребовало бы рассматривать нелинейные соотношения между напряжениями, деформациями и скоростями изменения этих величин во времени.

Надо иметь в виду, что механические характеристики материала при высоких скоростях деформации могут иметь значения, резко отличающиеся от статических. Модуль упругости несколько увеличивается, а предел пропорциональности, предел текучести и временное сопротивление могут возрасти на 50% и более.

Будем в дальнейшем рассматривать оболочку постоянной толщины h.Так как тонкая пластинка относится к оболочкам с нулевой кривизной, то основная задача заключается в сведении уравнений трехмерной задачи теории упругости к уравнениям для двух измерений. Координатную систему для простоты необходимо связать с срединной поверхностью.

Классический способ приведения трехмерной задачи к двумерной заключается в учете гипотезы недеформируемых нормалей (гипотезы Кирхгофа- Лява), подразумевающей, что «любое волокно, нормальное к срединной поверхности до деформации, остается после деформации прямым и нормальным к срединной поверхности в ее новом очертании; вместе с тем длина волокна вдоль толщины оболочки остается неизменной» [2,9]. Дополнительное допущение состоит в том, что «нормальными напряжениями в направлении нормали к срединной поверхности можно пренебречь по сравнению с основными напряжениями» [9].

Также, в последующих рассматриваемых задачах динамики, следуя принципу Даламбера, необходимо в рассмотрение ввести силы инерции. Определим прежде всего силы инерции, соответствующие перемещениям элементов оболочки вдоль нормали.

равнуюгде γ - удельный вес материала, g - ускорение силы

тяжести, t - время. Аналогично находятся силы инерции, отвечающие перемещениям u, V.

Выражая усилия через перемещения u, v, wи учитывая основные допущения, найдем:

Уравнение движения в проекциях на нормаль к срединной поверхности будет таким:

где k_xи k_y- кривизны оболочек (для пластинки равны нулю) и

Данная теория предназначена для тонких пластинок. Понятие тонкие пластинки в каждом источнике разъясняется по-разному, но мы будем придерживаться следующих параметров:

Усилия в пластинке будут иметь следующий вид:

I

Выражения для изгибающих и крутящих моментов примут вид:

I

где через Dобозначена цилиндрическая жесткость оболочки

1.4.