<<
>>

Резонанс один-к-одному

Данный тип резонанса возможен для трех сочетаний собственных частот (2.52)-(2.54), где (2.53) и (2.54) соответствуют случаю взаимодействия мод колебаний в плоскости пластинки и из плоскости.

Соотношение (2.52) представляет собой случай, когда собственные частоты в плоскости пластинки равны или почти равны друг другу.

Начнем рассмотрение со случая сочетания внутреннего резонанса один-к- одному (2.52) [212], когда какие-либо две частоты колебаний в плоскости пластинки в направлениях x и у близки друг другу (что особенно часто наблюдается для квадратных пластинок), так что соотношение (2.52) принимает вид

и внешнего резонанса [17, 48, 227]

65

где σ1и σ2 - параметры, характеризующие малое расхождение между

значениями частот, т.е. степень их «близости». Эти параметры в теории возмущений называются «расстройкой» [27].

Используя далее на каждом шаге решение с предыдущего шага и исключая вековые члены во время интегрирования [193], приходим к следующей системе разрешающих уравнений для случая внутреннего резонанса один-к-одному (2.52), который сопровождается внешним резонансом (2.59):

Для устранения (в уравнениях (2.88)-(2.90) введем замену

после чего умножим их соответственно на A1, A2и A3и найдем сопряженные к ним уравнения. Складывая каждую пару взаимно сопряженных уравнений друг с другом и вычитая одно из другого, а также представляя функции в полярной форме, в результате получим

66

где- разность фаз, точка обозначает дифференцирование по Т2и

Система уравнений (2.92)-(2.97) описывает амплитудно-фазовую модуляцию при нелинейных вынужденных колебаниях в случае внутреннего резонанса (2.52) и является обобщением случая свободных колебаний, рассмотренного в [210] с учетом внутреннего резонанса ω1= ω2,т.е.

без наличия частотной расстройки σ1 между частотами ω1и ω2.

Если расстройка между частотами колебаний в плоскости пластинки отсутствует σ1= 0, то уравнения (2.94) и (2.97) принимают следующий вид:

Из уравнений (2.98) и (2.99) видно, что при σ1= 0 амплитуда вертикальных колебанийс течением времени зависит только от

амплитуды внешней гармонической силы f, частотной расстройки σ2и от фазы

вертикальных колебаний φ3= φ3(T2). Но поскольку фаза вертикальных колебаний, в свою очередь, зависит еще от квадратов амплитуд горизонтальных колебаний, то система шести уравнений (2.92)-(2.97) остается связанной.

и только в случае свободных колебаний (f = 0) амплитуда вертикальных колебаний является независимой функцией

где a30- начальная амплитуда.

Теперь рассмотрим сочетание внешнего резонанса (2.59) и внутреннего резонанса (2.53), когда одна частота в плоскости пластинки близка к какой-либо частоте из плоскости пластинки, так что

Используя далее процедуру, изложенную выше для случая (2.44) [210], приходим к следующей системе разрешающих уравнений:

Для устранения ∣в уравнениях (2.103) и (2.105) введем замену

после чего умножим их соответственно на A1, A2и A3и найдем сопряженные к ним уравнения. Осуществляя процедуры, предложенные ранее, и представляя функции в полярной форме (2.63), в результате получим

где- разность фаз для данного типа внутреннего резонанса.

Уравнение (2.108) является обыкновенным дифференциальным уравнением, решение которого имеет вид:

где с2 - константа интегрирования, определяемая из начальных условий.

1.4.1.

<< | >>
Источник: Канду Владимир Валерьевич. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИИ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК, НАХОДЯЩИХСЯ В УСЛОВИЯХ ВНУТРЕННЕГО И ВНЕШНЕГО РЕЗОНАНСОВ. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Воронеж - 2019. 2019

Еще по теме Резонанс один-к-одному:

  1. Резонанс два-к-одному
  2. Численные исследования внутреннего резонанса два-к-одному
  3. Внутренний резонанс
  4. Внутренний резонанс 1:1:2
  5. Численные исследования внутреннего резонанса 1:1:2
  6. Комбинационные резонансы аддитивно-разностного типа
  7. Численные исследования комбинационных резонансов аддитивно­разностного типа
  8. Внутренний резонанс 1:1:1
  9. Численныеисследования внутреннего резонанса 1:1:1
  10. 3.4. Численные исследования внутреннего резонанса 1:1
  11. Висячие мосты и их роль в обнаружении внутреннего резонанса