Резонанс два-к-одному

Исследуем сначала случай (2.44), когда ω₁= 2ω₃,в то время как .

Тогда устраняя вековые члены в уравнениях (2.41)-(2.43), получаем следующие разрешающие уравнения:

61

Из системы уравнений (2.60)-(2.62) видно, что второе уравнение (2.61) независимо от двух других, в то время как первое (2.60) и третье (2.62) образуют систему двух нелинейных уравнений. Подобная ситуация была отмечена в [203] для слабо демпфированной нелинейной пластины в случае внутреннего резонанса два-к-одному, когда использовались уравнения, описывающие движение в плоскости пластины, со связанными линейными частями уравнений.

Умножим уравнения (2.60)-(2.62) соответственно нанайдем

сопряжённые к ним уравнения. Складывая каждую пару взаимно сопряженных уравнений друг с другом и вычитая одно из другого, а также представляя функции A_i(T₁)в полярной форме, т.е. полагая, что

где- функции амплитуд и фаз колебаний, в результате

получим

где точка обозначает дифференцирование относительно разность фаз колебаний и

В уравнениях (2.64), (2.65) и (2.68) вторые слагаемые отвечают за процесс диссипации энергии. Из соотношений (2.70) видно, что при коэффициенты демпфирования s_iзависят от частот колебаний o_ι.

Теперь рассмотрим случай сочетания внутреннего резонанса (2.45), когда с внешним резонансом

Осуществляя тот же самый алгоритм, что и для случая (2.44), получим систему шести дифференциальных уравнений, описывающие амплитудно-частотные характеристики колебательного процесса:

63

2.3.1.