Постановка задачи

Рассмотрим шарнирно опертую по контуру нелинейно упругую пластинку на вязкоупругом основании, колеблющуюся в вязкоупругой среде (рисунок 4.1). Для этого воспользуемся уравнением фон Кармана относительно прогиба пластинки и функции напряжений Эйри ф:

бигармонический оператор, q- внешняя нагрузка,- сила сопротивления окружающей среды, которая

моделируется, как и в главе 2, вязкоупругой моделью Кельвина-Фойгта с дробной производной Римана-Лиувилля (2.4),- реакция вязкоупругого основания.

Будем полагать, следуя работе [200], что оператор податливости вязкоупругого основанияописывается моделью Кельвина-Фойгта с дробной производной Римана-Лиувилля (2.4)

где T₀- коэффициент длительной податливости основания.

К системе уравнений (4.1) и (4.2) необходимо добавить граничные условия, которые для шарнирно опертой пластинки имеют вид:

113

Рисунок 4.1 - Пластинка на вязкоупругом основании

С целью выявления возможности наступления внутреннего резонанса при нелинейных колебаниях пластинки, лежащей на вязкоупругом основании, и его последующего анализа будем полагать, что в процессе колебаний доминируют две собственные моды колебаний с номерами m₁n₁и m₂n₂. Тогда прогиб пластинки можно представить в следующем виде: где x_i(t) (i = 1,2) - обобщенные перемещения и- собственные

функции.

Подставляя (4.5) в (4.2) с учетом граничных условий (4.4) и интегрируя с учетом свойства ортогональности собственных функций, получим функцию напряжений в следующем виде:

Подставляя предполагаемое двучленное разложение для функции прогиба пластинки (4.5) и функцию напряжений (4.6) в уравнение движения пластинки (4.1), лежащей на вязкоупругом основании, приходим к следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений относительно обобщенных перемещений:

115

где Ω_ι²- квадраты собственных частот линейных колебаний пластинки

a_i- коэффициенты, зависящие от номеров мод колебаний, приведены в

Приложении Б и

4.1.