Постановка задачи
Рассмотрим шарнирно опертую по контуру нелинейно упругую пластинку на вязкоупругом основании, колеблющуюся в вязкоупругой среде (рисунок 4.1). Для этого воспользуемся уравнением фон Кармана относительно прогиба пластинки и функции напряжений Эйри ф:
бигармонический оператор, q- внешняя нагрузка,
- сила сопротивления окружающей среды, которая
моделируется, как и в главе 2, вязкоупругой моделью Кельвина-Фойгта с дробной производной Римана-Лиувилля (2.4),- реакция вязкоупругого основания.
Будем полагать, следуя работе [200], что оператор податливости вязкоупругого основанияописывается моделью Кельвина-Фойгта с дробной производной Римана-Лиувилля (2.4)
где T0- коэффициент длительной податливости основания.
К системе уравнений (4.1) и (4.2) необходимо добавить граничные условия, которые для шарнирно опертой пластинки имеют вид:
113
Рисунок 4.1 - Пластинка на вязкоупругом основании
С целью выявления возможности наступления внутреннего резонанса при нелинейных колебаниях пластинки, лежащей на вязкоупругом основании, и его последующего анализа будем полагать, что в процессе колебаний доминируют две собственные моды колебаний с номерами m1n1и m2n2. Тогда прогиб пластинки можно представить в следующем виде: где xi(t) (i = 1,2) - обобщенные перемещения и
- собственные
функции.
Подставляя (4.5) в (4.2) с учетом граничных условий (4.4) и интегрируя с учетом свойства ортогональности собственных функций, получим функцию напряжений в следующем виде:
Подставляя предполагаемое двучленное разложение для функции прогиба пластинки (4.5) и функцию напряжений (4.6) в уравнение движения пластинки (4.1), лежащей на вязкоупругом основании, приходим к следующей системе нелинейных дифференциальных уравнений относительно обобщенных перемещений:
115
где Ωι2- квадраты собственных частот линейных колебаний пластинки
ai- коэффициенты, зависящие от номеров мод колебаний, приведены в
Приложении Б и
4.1.
Еще по теме Постановка задачи:
- Постановка задачи
- Использование дробного исчисления в динамических задачах вязкоупругости
- Оглавление
- Моделирование методом конечных элементов. Численный эксперимент
- Список литературы
- Введение
- Введение
- Внутренний резонанс
- Славянизмы как сакрально-секулярная основа картины мира, «поэтической философии» Вяземского
- Профессионально важные качества идеального школьного учителя
- Моделирование разрядных процессов
- Основные результаты и выводы
- Выводы
- 17.2. Функции административных органов в зарубежных странах
- Уравнения Муштари-Власова для моделирования нелинейного динамического поведения оболочек и пластинок
- Секулярные славянизмы, христианские религионимы, церковнославянизмы и церковнославяно-русские полисеманты: вопрос о семантико-дискурсивной специфике