Постановка задачи

Рассмотрим колебания шарнирно опертой нелинейной тонкой упругой прямоугольной пластинки в вязкоупругой среде, демпфирующие свойства которой описываются производной Римана-Лиувилля дробного порядка, под действием вертикальной гармонической силы (рисунок 2.1).

коэффициент Пуассона.- коэффициенты, зависящие от

размеров а и bпластинки в направлениях xи у и ее толщины h, t - время, точка обозначает производную по времени, нижние индексы означают производные по соответствующим координатам, Fи Ω_f- амплитуда и частота внешней гармонической силы,- функция Дирака [124], х.(z=1,2,3) -

коэффициенты демпфирования и- дробная производная Римана-Лиувилля порядка

и Г(1 -у) - гамма-функция.

К системе (2.1)-(2.3) необходимо добавить начальные условия

и учесть граничные условия

Безразмерные величины в (2.1)-(2.7) имеют такой же вид, как в [203]:

где размерные значения отмечены звездочкой, а Eи р - модуль упругости и плотность материала пластинки.

Рисунок 2.1 - Схема воздействия гармонической силы на шарнирно опертую прямоугольную пластинку.

Решение системы уравнений (2.1)-(2.3) можно записать в виде:

∞ ∞

где x_1mn, x_2mnи x_3mn- обобщенные перемещения, соответствующие перемещениям в плоскости пластины и ее прогибу, m, n - целые числа, соответствующие числу учитываемых мод колебаний, а собственные функции, удовлетворяющие граничные условиям (2.7), имеют вид решения Навье для шарнирно опертой пластинки:

Для определения собственных частот нелинейных колебаний пластинки необходимо решить задачу на собственные значения. Рассмотрим линейные

незатухающие собственные формы колебаний в плоскости и из плоскости пластины [209]:

Система уравнений (2.11) и (2.12) имеет характеристическое уравнение следующего типа:

здесь

Корнями характеристического уравнения (2.14) являются квадраты безразмерных собственных частот изгибных колебаний в плоскости пластины

Из уравнения (2.13) получены собственные частоты изгибных колебаний из плоскости пластинки:

Подставляя (2.9) в уравнения (2.1)-(2.3), умножая (2.1), (2.2), и (2.3) на η_1lk, η_2lkи η_3lkсоответственно, интегрируя по х, у и используя условия ортогональности для линейных мод в пределах областей 0 ≤ х, у≤ 1, приходим к 50

бесконечному числу систем, каждая их которых состоит из трех связанных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно

При выводе уравнений (2.18) и (2.19) учтено фильтрующее свойство дельта функции:

и суммирование выполнено по двум повторяющимся индексам, а элементы матрицыопределены в (2.15).

Нелинейные части F_imnуравнений (2.18) и (2.19) имеют вид

), зависящие от комбинаций функций синуса и косинуса, входящих в собственные функции (2.10), представлены в приложении Б.

Так как тензор второго рангаявляется симметричным, то он имеет два действительных собственных значения (2.16), которые соответствуют двум взаимно ортогональным собственным векторам

где суммирование выполнено по повторяющемуся индексу а, в то время как индексы mи nсвободные.

Таким образом, матрицаи обобщенные перемещения x_amn, входящие в уравнения (2.18) и (2.19), могут быть представлены в виде разложения по собственным векторам (2.23) [210].

Подставляя (2.25) и (2.26) в уравнения (2.18) и (2.19) и затем, умножая (2.18) последовательно нас учетом (2.24), мы получаем следующие три

уравнения:

Следует отметить, что левые части уравнений (2.27) и (2.28) линейны и независимы друг от друга, в то время как уравнения (2.27) и (2.28) связаны только с помощью нелинейных членов, стоящих в их правых частях.

В связи с тем, что возможна перекачка энергии между взаимодействующими модами, которые в процессе колебаний доминируют, необходимо исследовать внутренний резонанс. Для дальнейшего решения

предположим, что возбуждаются и доминируют только три собственных моды с собственными частотами ω_imn (z=1,2,3). Используя подход, базирующийся на основе разложения искомого решения по собственным функциям, приходим к системе трех нелинейных уравнений, линейные части которых независимы друг от друга:

Опуская далее нижние индексыдля простоты изложения,

уравнения (2.29) могут быть переписаны в виде

53

где- коэффициенты, зависящие от номеров взаимодействующих

мод колебаний.

2.1.