Постановка задачи
Рассмотрим колебания шарнирно опертой нелинейной тонкой упругой прямоугольной пластинки в вязкоупругой среде, демпфирующие свойства которой описываются производной Римана-Лиувилля дробного порядка, под действием вертикальной гармонической силы (рисунок 2.1).
Уравнения движения такой пластинки в декартовой системе координат описываются следующими тремя дифференциальными уравнениями, записанными в безразмерном виде, которые были предложены впервые в работе [231] и являются непосредственным обобщением уравнений Муштари-Власова [9] (1.2)-(1.4):
коэффициент Пуассона.- коэффициенты, зависящие от
размеров а и bпластинки в направлениях xи у и ее толщины h, t - время, точка обозначает производную по времени, нижние индексы означают производные по соответствующим координатам, Fи Ωf- амплитуда и частота внешней гармонической силы,- функция Дирака [124], х.(z=1,2,3) -
коэффициенты демпфирования и- дробная производная Римана-Лиувилля порядка
и Г(1 -у) - гамма-функция.
К системе (2.1)-(2.3) необходимо добавить начальные условия
и учесть граничные условия
Безразмерные величины в (2.1)-(2.7) имеют такой же вид, как в [203]:
где размерные значения отмечены звездочкой, а Eи р - модуль упругости и плотность материала пластинки.
Рисунок 2.1 - Схема воздействия гармонической силы на шарнирно опертую прямоугольную пластинку.
Решение системы уравнений (2.1)-(2.3) можно записать в виде:
∞ ∞
где x1mn, x2mnи x3mn- обобщенные перемещения, соответствующие перемещениям в плоскости пластины и ее прогибу, m, n - целые числа, соответствующие числу учитываемых мод колебаний, а собственные функции, удовлетворяющие граничные условиям (2.7), имеют вид решения Навье для шарнирно опертой пластинки:
Для определения собственных частот нелинейных колебаний пластинки необходимо решить задачу на собственные значения. Рассмотрим линейные
незатухающие собственные формы колебаний в плоскости и из плоскости пластины [209]:
Система уравнений (2.11) и (2.12) имеет характеристическое уравнение следующего типа:
здесь
Корнями характеристического уравнения (2.14) являются квадраты безразмерных собственных частот изгибных колебаний в плоскости пластины
Из уравнения (2.13) получены собственные частоты изгибных колебаний из плоскости пластинки:
Подставляя (2.9) в уравнения (2.1)-(2.3), умножая (2.1), (2.2), и (2.3) на η1lk, η2lkи η3lkсоответственно, интегрируя по х, у и используя условия ортогональности для линейных мод в пределах областей 0 ≤ х, у≤ 1, приходим к 50
бесконечному числу систем, каждая их которых состоит из трех связанных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно
При выводе уравнений (2.18) и (2.19) учтено фильтрующее свойство дельта функции:
и суммирование выполнено по двум повторяющимся индексам, а элементы матрицыопределены в (2.15).
Нелинейные части Fimnуравнений (2.18) и (2.19) имеют вид
), зависящие от комбинаций функций синуса и косинуса, входящих в собственные функции (2.10), представлены в приложении Б.
Так как тензор второго рангаявляется симметричным, то он имеет два действительных собственных значения (2.16), которые соответствуют двум взаимно ортогональным собственным векторам
где суммирование выполнено по повторяющемуся индексу а, в то время как индексы mи nсвободные.
Таким образом, матрицаи обобщенные перемещения xamn, входящие в уравнения (2.18) и (2.19), могут быть представлены в виде разложения по собственным векторам (2.23) [210].
Подставляя (2.25) и (2.26) в уравнения (2.18) и (2.19) и затем, умножая (2.18) последовательно нас учетом (2.24), мы получаем следующие три
уравнения:
Следует отметить, что левые части уравнений (2.27) и (2.28) линейны и независимы друг от друга, в то время как уравнения (2.27) и (2.28) связаны только с помощью нелинейных членов, стоящих в их правых частях.
В связи с тем, что возможна перекачка энергии между взаимодействующими модами, которые в процессе колебаний доминируют, необходимо исследовать внутренний резонанс. Для дальнейшего решения
предположим, что возбуждаются и доминируют только три собственных моды с собственными частотами ωimn (z=1,2,3). Используя подход, базирующийся на основе разложения искомого решения по собственным функциям, приходим к системе трех нелинейных уравнений, линейные части которых независимы друг от друга:
Опуская далее нижние индексыдля простоты изложения,
уравнения (2.29) могут быть переписаны в виде
53
где- коэффициенты, зависящие от номеров взаимодействующих
мод колебаний.
2.1.
Еще по теме Постановка задачи:
- Постановка задачи
- Использование дробного исчисления в динамических задачах вязкоупругости
- Оглавление
- Моделирование методом конечных элементов. Численный эксперимент
- Список литературы
- Введение
- Введение
- Внутренний резонанс
- Славянизмы как сакрально-секулярная основа картины мира, «поэтической философии» Вяземского
- Профессионально важные качества идеального школьного учителя
- Моделирование разрядных процессов
- Основные результаты и выводы