Основные результаты и выводы по второй главе

В данной главе на основе обобщенной системы нелинейных дифференциальных уравнений Муштари-Власова-Доннела, в которой силы диссипации описываются реологической моделью Кельвина-Фойгта с дробной производной по времени, сформулирована задача о нелинейных вынужденных затухающих колебаниях тонкой прямоугольной шарнирно опертой пластинки, которые возбуждаются внешней гармонической силой.

Предложен подход, позволивший развязать линейные части нелинейных уравнений движения пластинок, при этом функции амплитуд колебаний и производные по времени как целого, так и дробного порядка раскладываются в степенные ряды по малому параметру и зависят от разных масштабов времени, что позволило в качестве метода решения использовать обобщенный метод многих временных масштабов.

Показано, что изучаемая система уравнений движения пластинок допускает появление внутреннего резонанса в системе, когда значения двух или трех собственных частот доминирующих в процессе колебаний собственных мод связаны между собой некоторыми кратными соотношениями. Было выявлено десять различных типов внутреннего резонанса, и для каждого из них рассмотрен самый неблагоприятный для работы конструкции режим, когда частота возмущающей силы близка к одной из собственных частот колебаний, уже

находящейся в условиях внутреннего резонанса, т.е. ситуация наложения внешнего резонанса на внутренний.

Аналитически получены системы шести дифференциальных уравнений, описывающие модуляцию амплитуд и фаз вынужденных затухающих нелинейных колебаний пластинок в условиях сочетания внутреннего и внешнего резонансов, для всех выявленных случаев.

Показано, что выбор реологической модели, содержащей дробную производную от перемещения по времени, приводит к тому, что каждая мода колебаний характеризуется собственным коэффициентом демпфирования, связанным с частотой колебаний экспоненциальной зависимостью с отрицательной дробной экспонентой, что находится в хорошем соответствии с гипотезой модального демпфирования и имеющимися экспериментальными данными. При стремлении параметра дробности к единице полученные уравнения переходят в известные уравнения, в которых силы демпфирования описываются классической моделью Кельвина-Фойгта, но при этом коэффициенты затухания колебаний уже не зависят от собственных частот, что находится в противоречии с теорией модального демпфирования. Таким образом, принятая в данной диссертационной работе реологическая модель является более предпочтительной, чем наиболее часто используемая в инженерной практике классическая модель Кельвина-Фойгта.