Нелинейные колебания пластинок

Изучение динамических характеристик деформируемых систем зачастую связано с развитием мира технологий и техники, что влечет за собой увеличение скоростей и ускорений, например, транспорта, станков и т.д.

Литературный обзор нелинейных колебаний упругих пластинок приведен в Chia [100,101], Sathyamoorthy [219]; изогнутые пластинки и оболочки были рассмотрены Amabili и Paidoussis [75] и Alijani и Amabili [61]. Свободные

колебания ортотропной пластинки Миндлина рассмотрены также в [154].

Любопытной особенностью тонких пластинок можно считать увеличение усилий в срединной плоскости до критического максимума во время значительной скорости возрастания нагрузки при незначительных прогибах. Данный феномен является причиной появления высших форм потери устойчивости. Теоретические и экспериментальные исследования поведения пластинок при быстром нагружении подтверждают данную особенность, так как при высоких скоростях нагружения происходит скачкообразное перемещение пластинки к новому равновесному положению. С данного момента начинаются нелинейные колебания вокруг новой установившейся равновесной формы с большим прогибом. Описанное явление называют динамическим выпучиванием или условно-динамической потерей устойчивости. Динамическая устойчивость пластинок и цилиндрических панелей в нелинейной постановке была впервые исследована В. В. Болотиным, А. С. Вольмиром и другими авторами [9]. В работе [181] исследовали взаимодействие различных мод колебаний оболочки и бифуркаций при параметрическом возбуждении с использованием моделей систем с четырьмя начальными модами.

Во время колебательного процесса перемещения срединной плоскости пластинки вызывают значительное изменение геометрии пластинки, так что уравнения равновесия необходимо составлять с учетом изменения формы и размеров пластины, т. е. проявляется геометрическая нелинейность. Прямоугольная пластинка с геометрической нелинейностью рассматривалась в [94], где учитывались две моды нерезонансных колебаний. Ранее в работах [188, 189] Ribeiro и Petyt более подробно изложили свои методы для вынужденных колебаний пластинки с геометрической нелинейностью [190]. Данное явление для свободных колебаний пластинки описали в работе [127] при помощи иерархического подхода [187], который сопоставлялся с методом продолжений в [192], используя за основу уравнения фон Кармана.

геометрически нелинейную защемленную изотропную пластинку Кирхгофа с концентрированными массами. Более подробно рассмотрено поведение свободно опертых и защемленных пластинок с геометрической нелинейностью в работе P.C. Dumir [111].

Pai и Nayfeh [173] представили общую теорию нелинейных колебаний упругих композитных пластинок с учетом геометрической нелинейности. Нерезонансное взаимодействие прямоугольных пластинок при их геометрически нелинейном деформировании исследовано в [6] с помощью нелинейных нормальных форм Каудерера-Розенберга.

Обзор изгибных колебаний упругих прямоугольных пластин со свободными краями дан в [24]. Нелинейный высокочастотный флаттер пластины рассматривался в [246]. Круглые в плане пластинки были рассмотрены в [238], где учитывались первые девять собственных мод колебаний. Нелинейные колебания тонких прямоугольных пластинок с учетом волн турбулентности рассмотрены в диссертационной работе Ducceschi [109].

В книге [236] были продемонстрированы способы моделирования контактных задач с пластинками и динамическое моделирование пластинчатых элементов в строительной конструкции при помощи метода конечных элементов (МКЭ [178]). МКЭ использовался также в [87], где применялся иерархический подход для описания свободных нелинейных колебаний пластинки [114]. Различные способы нагружения пластинок изучались методом конечных элементов в [269]. Нелинейные колебания пластинки Миндлина [96] с большой толщиной рассматривались в [151, 184].

Дискретно-континуальный подход применялся в определении собственных значений и собственных функций краевой задачи расчета упругой ортотропной пластины [3]. Авторы предыдущей работы численно реализовали дискретно­континуальный метод конечных элементов для определения собственных частот упругих изотропных тонких пластинок и конструкции в целом [4,5]. Свободные колебания ортотропной пластинки также можно найти в [255]. В магистерской диссертации [26] рассматривалась динамическая модель резонанса в нелинейных

системах при помощи математического пакета Maple.

Шарнирно опертую пластинку, подверженную распределенной гармонической нагрузке вдоль граней, параллельных оу, - p = p₀- p₁ cos Ω₂t, а также вертикальной силе, рассматривают в [88], использовав уравнения фон Кармана и преобразование Галеркина. Перемещения и нагрузку авторы раскладывают по принципу Навье, а на выходе получают систему двух дифференциальных уравнений второго порядка. Были построены численные результаты в Matlab с варьированием коэффициентов демпфирования. Также рассмотрены как резонансные, так и нерезонансные случаи. Такой же набор внешнего возмущения использовали в [240] для пластинки из пьезоэлектрического материала, где учитывался субгармонический метод Мельникова относительно системы шести уравнений. Свободные колебания прямоугольных ортотропных пластин изучались в [254] для двух способов закрепления (свободное и жесткое по контуру пластины). Пластинки с консольным закреплением изучались в [160]. Вынужденные колебания дискретных систем рассматривались в [81], где сила представлена в следующем виде:

Постановка задачи о свободных колебаниях пластинки была осуществлена в [113] при помощи смешанной конечно-элементной формулировки Ритца, а нелинейные колебания свободно опертой пластинки рассматривались в [53], где за основу взято одно из уравнений и функция напряжения.

В статье [10] рассматривается трехслойная пластинка прямоугольной формы из неоднородного ортотропного материала, к которой прикладываются сейсмические воздействия. Было получено решение задачи на собственные значения, а также уравнение для частоты собственных колебаний. Показано влияние ортотропности и неоднородности материала на характер колебаний и критические параметры пластинки. Balkan и Mecitoglu [85] нашли подход к

проблеме нелинейной динамики композитных многослойных пластинок путем воздействия взрывной нагрузки.

Двуслойная нанопластинка была рассмотрена в [250] при различных начальных условиях, а в [252] нелинейные вынужденные колебания шарнирно опертой многослойной пластинки рассматривались при помощи метода гармонического баланса.

В работе [263] рассмотрены различные неравномерные граничные условия многослойной пластинки умеренно большой толщины (см. рисунок 1.1). Композитные пластинки с использованием нанотрубок рассматривались в [104].

Рисунок 1.1 - Виды неоднородный частичных закреплений пластинок: а) угловое б) точечно центральное в) восьмиточечное г) x = 0 - a/2; у = 0 - b/2 д) x = a/ 4- 3α/ 4;у= b/ 4- 3b/ 4.

В работе [35] рассматривалась модель жесткой прямоугольной тонкой пластинки, свойства которой в точности повторяли натурный объект, а именно элемент солнечной батареи, принадлежащей трансформируемой космической конструкции. Влияние внешней воздушной среды на частоты и декременты колебаний было смоделировано и оценено. Были изготовлены шесть моделей для экспериментальных исследований и выполнены в масштабе 1:10, различающихся

между собой лишь массово-инерционными характеристиками и варьированием жесткости подвески. В связи с небольшими размерами моделей и малыми скоростями движения для воспроизведения чисел Рейнольдса, близких к натурным, и особенными характеристиками воды, а именно кинематической вязкостью, которая в 15 раз меньше, чем у воздуха, было решено моделировать внешнюю среду при помощи воды. Благодаря испытаниям было обнаружено существенное снижение декрементов с уменьшением амплитуды колебаний для всех вариантов моделей, жесткостей подвески и видов окружающей среды. Результаты испытаний в воздушной среде показали, что независимо от жесткости подвески амплитудная зависимость декремента колебаний практически одинакова для всех моделей.

Отечественные экспериментальные исследования также многообразны в области нелинейных колебаний пластин.

Ребристая пластинка, жестко закрепленная, рассматривалась в [155] с учетом геометрической нелинейности и в условиях внешнего резонанса пластинки. Также применялся метод многих временных масштабов.

Анализ свободных незатухающих [191] и затухающих [71] колебаний нелинейных систем имеет большое значение для определения характеристик динамической системы, которая, в свою очередь, зависит от амплитудно-фазовых соотношений и мод колебаний. Колебательный процесс пластинки может сопровождаться внутренним резонансом, результат которого характеризуется особым взаимодействием возбужденных форм колебаний [71, 99, 135, 169, 191] и, следовательно, обменом энергией между взаимодействующими модами, что

катастрофически и необратимо может повлиять на целостность пластинчатой конструкции.

1.2.