Метод решения

Для решения системы нелинейных уравнений (4.7) и (4.8) будем использовать обобщенный метод многих временных масштабов [199], полагая коэффициенты демпфирования щ малыми величинами порядка ε²

3

и амплитуды внешней нагрузки малыми величинами порядка ε, поскольку уравнения (4.7) и (4.8) содержат только кубические нелинейности, в отличие от рассмотренных во второй главе уравнений (2.26) и (2.28), содержащих квадратичные нелинейности.

Тогда обобщенные перемещения x_i(t) можно представить в виде разложения по двум временным масштабам T₀и T₂

Подставляя разложения (4.11) с учетом соотношений (2.33) и (2.34) в уравнения (4.7) и (4.8), после приравнивания коэффициентов с одинаковыми

степенями εк нулю, приходим к системе рекуррентных уравнений различного порядка: на шаге ε

3

на шаге ε

где D₁²и D- квадраты частот колебаний пластинки, лежащей на упругом основании,

Уравнения (4.14) и (4.15) записаны пока без учета внешней нагрузки.

Решение линейных уравнений (4.14) и (4.15) имеет вид

где- неизвестные комплексные функции и A_j(T₂)- сопряжённые

функции с ^Aj (^T2 ) .

Представляя соотношения (4.18) в уравнения (4.14) и (4.15) с учетом формулы (2.40), получим:

Анализ уравнений (4.19) и (4.20) показывает, что возможен внутренний резонанс один-к-одному в случае, если

Условие устранения появления вековых членов в уравнениях (4.19) и (4.20) с учетом соотношения (4.21) приводит к системе двух определяющих уравнений

118

Представляя функции A₁и A₂в полярной форме (2.63), умножая (4.22) на и (4.23) наскладывая и вычитая сопряженные к ним уравнения, приходим к следующей системе уравнений:

Система уравнений (4.24)-(4.27) является определяющей для амплитуд и фаз нелинейных свободных колебаний упругой пластинки на вязкоупругом основании с шарнирным опиранием по контуру.

Система уравнений (4.24)-(4.27) легко обобщается на случай воздействия внешней гармонической силы, как это было показано в разделе 2.4.1.2 для шарнирно опертой пластинки.

4.2.