Метод решения

Систему уравнений (2.31) можно исследовать аналитически при помощи метода многих временных масштабов [27], в соответствии с которым обобщенные перемещения раскладываются в ряд по малому параметру с использованием новых временных масштабов в следующем виде:

где i = 1,2,3, ε- малый безразмерный параметр,- новые независимые

переменные, среди них: T₀= t- быстрое время, характеризующее движения с собственными частотами линейных колебаний, T₁= εt и T₂= ε²t- медленные масштабы, характеризующие модуляцию амплитуд и фаз нелинейных колебаний.

Поскольку уравнения (2.31) содержат кроме вторых производных по времени производные дробного порядка, то помимо разложений производных целого порядка, используемых традиционно в методе многих временных масштабов [27, 28, 209, 210]:

необходимо привлечь обобщенный метод [200, 225], в соответствии с которым разложение дробной производной имеет следующий вид

Разложение производной дробного порядка в виде соотношения (2.34) было предложено впервые в 1997 году Россихиным Ю.А. и Шитиковой М.В. [199] на основании того, что в монографии Самко С.Г., Килбаса А.А. и Маричева О.И. [41] было показано, что такое описание соответствует дробной производной Маршо, которая, в свою очередь, сводится к дробной производной Римана- Лиувилля (2.4).

Поскольку целью данной работы является исследование наложения внешнего резонанса на различные случаи внутреннего резонанса с помощью обобщенного метода многих временных масштабов, который еще называют методом разложения дробной производной по малому параметру [225], то необходимо положить вязкость среды, окружающей рассматриваемую пластинку, и амплитуду внешней силы малыми величинами, то есть- время

ретардации i-ого обобщённого перемещения, μ_iи f- конечные величины.

Подставляя (2.32)-(2.34) в уравнения (2.31), после приравнивания коэффициентов с одинаковыми степенями εк нулю, приходим к системе рекуррентных уравнений различного порядка: при ε

при ε²

3

при ε

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка (2.35) имеет вид

где- неизвестные комплексные функции и-

сопряжённые функции с

В данной работе для моделирования сил демпфирования используется производная по времени дробного порядка в отличие от классического способа, который базируется на применении производной первого порядка по времени от перемещения [18]. Использованиепозволяет получить коэффициенты

демпфирования, зависящие от собственных частот колебаний, т. е. модальный характер демпфирования. В работах [199, 206] было продемонстрировано, что результаты, полученные на основе использования дробной производной, подтверждают экспериментальные данные с помощью варьирования соответствующего параметра дробности (порядок дробной производной) и коэффициента вязкости.

Для решения системы уравнений (2.36) и (2.37), необходимо определить действие дробной производной(2.4) на функции X_j1,то есть вычислить . В работе [214] показано, что

Второе слагаемое в (2.39), как это было справедливо замечено в работе [207], не влияет на решение, построенное обощенным методом многих временных масштабов в пределах первого и второго приближений. Таким образом, выражение (2.39) сводится к следующему виду:

Для дальнейшего анализа необходимо определить порядок слабого демпфирования на каждом шаге.

2.2.1.