<<
>>

Использование дробного исчисления в динамических задачах вязкоупругости

Колебаниям вязкоупругих пластинок уделено большое внимание в литературе [55]. Для описания вязкоупругих свойств пластин в инженерной практике часто используют модель Кельвина-Фойгта [71] или модель стандартного линейного тела [67] при рассмотрении линейных или нелинейных материалов в вязкоупругих элементах [128, 138].

Amabili [71] описал простейшую модель нелинейных колебаний пластинок и оболочек, задавшись расширенным уравнением Дуффинга, которое описывает вынужденную систему груза с пружиной с вязким демпфированием, где выражение для силы сопротивления пружины нелинейно и содержит квадратичные и кубические члены. Так как первоначальное уравнение Дуффинга содержит только кубические нелинейные члены, то в данном случае члены расширенного уравнения Дуффинга представлены для того, чтобы показать квадратичные нелинейности. В частности, в [145] использовали модель Кельвина- Фогта для вязкоупругого материала, где коэффициент потерь зависит от времени ретардации [143]. Модель Кельвина Фойгта (см. рисунок 1.2а) состоит из пружины и амортизатора (демпфера), находящихся в параллели, таким образом, чтобы они испытывали одинаковую деформацию и общее напряжение равнялось сумме напряжений в каждом

элементе. Эта модель не может описать реакцию релаксации материала, но она эффективна для динамики и колебаний.

Нелинейная реакция вязкоупругих пластинок отличается от реакции других пластинок с вязким затуханием линейными членами, появившимся благодаря использованию вязкоупругой модели Кельвина-Фойгта. Данный тип пластинок имеет модальный характер затухания. Нелинейные члены снижают пик нелинейной реакции в случае плоских пластинок, поскольку они являются некой системой упрочнения. Для пластин с геометрическими дефектами реакция изначально смягчается, переходя к упрочнению при больших колебательных амплитудах, где появляются субгармонические реакции. В частности, эти субгармонические реакции увеличены для вязкоупругих пластинок в отличии от случая с использованием обыкновенного вязкого затухающего коэффициента.

Свободные затухающие колебания линейной вязкоупругой пластинки рассматривались в [39,40] и нелинейной в [31]. Линейные и нелинейные колебания пластинок рассмотрены также в [86].

Исследования в [71] являются очень точными в пределах тонкой изотропной вязкоупругой пластинки, где изучена сходимость решения с учетом различного количества членов от разложения решения, а также сохранена инерция в плоскости. Данный случай очень малоисследован в литературе. Колебания анизотропной пластинки также рассмотрены в [1]. В [71] рассматриваются нелинейные колебания вязкоупругих тонких прямоугольных пластин, подверженных нормальным гармоническим возбуждениям в спектральном диапазоне самых низких частот. Используются нелинейные соотношения деформации и перемещения фон Кармана, а также учитываются геометрические дефекты. Материал моделируется как вязкоупругое твердое тело Кельвина Фойгта, посредством сохранения нелинейных членов. Дискретные нелинейные уравнения движения изучены путем использования метода продолжения по длине дуги и метода коллокации. Численные результаты получены для основных мод колебаний свободно опертой квадратной пластинки с неподвижными гранями путем использования 16 и 22 степеней свободы, результаты которых

проанализированы на сходимость решения. Показано сравнение вязкого демпфирования и влияния эффекта пренебрежения нелинейными вязкоупругими членами. Исследовалось изменение частотных характеристик с течением времени, а также изучены подробно геометрические дефекты. Пластины были изготовлены из гибких материалов, таких как резина и биоматериалы, представляющие собой вязкоупругие характеристики диссипации, например, деформации, как следствие приложенной нагрузки.

Для изучения нелинейных свободных затухающих колебаний тонкой упругой или вязкоупругой пластины, колеблющейся в вязкоупругой среде, повсеместно используется вязкоупругая модель Кельвина-Фойгта с дробной производной [201] и [225]. Преимущество данной модели по сравнению с классической моделью Кельвина-Фойгта [77, 99, 135, 169, 191] заключается в хорошем согласовании полученных результатов с экспериментальными данными.

Так, натурные исследования подвесных мостов Винсента-Томаса [51] и Золотых ворот [53] показали, что разные моды колебаний имеют разные величины коэффициентов демпфирования, что свидетельствует о модальном характере демпфирования. Для улучшения согласованности теоретического исследования с экспериментальными данными в 1998 году в [198] было предложено использовать дробные производные для описания процессов внутреннего трения, происходящих в комбинированных подвесных системах, что позволило авторам естественным образом получить коэффициенты демпфирования, которые зависят от собственных частот.

В [85] исследовалась вязкоупругость, описанная моделью Кельвина Фойгта с защемленными гранями. Только срединная поверхность рассматривалась вязкоупругой и сопротивлялась сдвигу, который моделировался с использованием теории сдвиговых деформаций первого порядка и нелинейными членами фон Кармана. Решение получали методом Галеркина и интегрированием по времени дискретной системы с пятью степенями свободы. Авторами получены численные и экспериментальные данные. Использовав уравнения Дуффинга [186] и процедуру Галеркина в [30], авторам удалось получить коэффициенты,

учитывающие деформируемость при сдвиге и нелинейную кривизну для многослойных (композитных [149]) пластинок. Также композитные пластинки рассматривались в [265] при помощи нелинейной системы с двумя степенями свободы.

Mahmoudkhani и Haddadpour [53] исследовали нелинейные колебания многослойных вязкоупругих пластинок в пределах узкого диапазона случайных возбуждений. Вязкоупругость описывалась простым интегралом нелинейной вязкоупругой модели. Система описывается с помощью 7 нелинейных дробно­интегральных дифференциальных уравнений. Mahmoudkhani [157] изучал нелинейные свободные и вынужденные изгибающие колебания многослойных пластинок [182] с несжимаемой вязкоупругой срединной поверхностью, описываемые простым интегралом нелинейной вязкоупругой модели. Метод многих временных масштабов (5-го порядка) непосредственно применялся для решения уравнений движения.

Нелинейные колебания многослойных композитных пластинок с вязким демпфированием были исследованы численно и экспериментально Alijani и Amabili [62], и Alijani [63]. Alijani и Amabili [60] недавно развили теорию с восемью параметрами для изучения нелинейных колебаний многослойных композитных прямоугольных пластинок, сохраняющих нелинейность при изгибе и деформации по толщине; в этой работе было изучено 60 степеней свободы, используемых в решении уравнения движения, которые сохраняли все геометрически нелинейные члены вдобавок к деформациям сдвига высокого порядка и деформациям по толщине, в плоскости и инерции вращения.

Вязкоупругие многослойные умеренно толстые пластинки, т. е. у которых h не превышает 1/5 от наименьшей стороны в плане с учетом процесса разрушения были рассмотрены в [266].

Bilasse [90] изучал линейные и нелинейные колебания трехслойных прямоугольных пластинок с различными граничными условиями, посредством пренебрежения инерции (принципом Даламбера). Срединная поверхность рассматривалась как вязкоупругая и моделировалось так же, как материал Кельвина-Фойгта. Численные результаты представлены для определенных

коэффициентов потерь или для свойств материала, зависящих от частоты. В работе исследуются влияния различных основных материалов, а также температуры. Метод конечных элементов применяется в подходе, который соединяет метод гармонического баланса и комплексный метод Галеркина. Метод гармонического баланса нелинейных колебаний вязкоупругих оболочек был разобран Boutyour [92].

В настоящее время дробное исчисление широко используется для решения линейных и нелинейных динамических задач строительной механики [41, 80 , 119], о чем свидетельствуют многочисленные исследования в этой области, обзор которых можно найти в современных статьях Россихина и Шитиковой [199, 201], в которых приведены примеры применения дробных производных моделей Кельвина-Фойгта (см. рисунок 1.2а), Максвелла (см. рисунок 1.2б) и стандартного линейного твердого тела (см.

рисунок 1.2в) для систем осцилляторов, стержней, балок, пластин и оболочек.

Рисунок 1.2 - а) Схема модели Кельвина-Фойгта; б) Схема модели Максвелла; в) Схема стандартного линейного тела.

В частности, линейные колебания пластин Кирхгофа-Лява с дробным демпфированием по модели Кельвина-Фойгта были рассмотрены для прямоугольных и круглых пластин, соответственно, в [134] и [237], и описаны

системой из одного уравнения для вертикальных колебаний и двух уравнений в плоскости пластинки [196, 208]. В более поздних работах проанализированы пластинчатые системы в [200, 237]. В [202, 215] приведены доказательства того, что если вязкоупругие свойства пластин описываются моделью Кельвина-Фойгта, при этом принимается коэффициент Пуассона в качестве независимого от времени значения (хотя для реальных вязкоупругих материалов коэффициент Пуассона всегда зависит от времени [132]), то этот случай совпадает со случаем динамического поведения упругих тел в вязкоупругой среде. Таким образом, авторам [134, 237] удалось заменить одну проблему другой, а именно: проблему динамического отклика вязкоупругих пластин Кирхгофа-Лява в обычной среде на задачу динамического отклика упругой пластины Кирхгофа-Лява в вязкоупругой среде, особенности демпфирования которой определяются моделью Кельвина- Фойгта с дробной производной. Гашение колебаний тонких прямоугольных свободно опертых пластин для минимизирования прогиба плиты, подвергнутых сосредоточенной гармонической нагрузке, было недавно исследовано в [79]. Подавление вибраций достигается путем установки нескольких демпферов, смоделированных как дробный осциллятор Кельвина-Фойгта, обобщающий подход которого был предложен в [200].

Что касается анализа нелинейных колебаний пластин, то кроме упомянутых выше работ [196, 203, 210, 213, 232, 233], модель с дробной производной Кельвина-Фойгта использовалась в [83, 133, 159, 162, 177, 245], а стандартная линейная модель твердого тела с дробной производной в [66, 105, 152], но без учета явлений внутреннего резонанса.

Свободные и вынужденные вертикальные колебания ортотропной пластины были изучены в [162] с учетом первых четырех мод изгибных колебаний, а при анализе вынужденных колебаний частота гармонической силы принималась равной одной из собственных частот и в [115] при помощи метода многих временных масштабов с учетом геометрической нелинейности. Уравнение пластины фон Кармана с демпфированием, описываемым дробной производной, было использовано в [177] для анализа случаев условий первичного, субгармонического и супергармонического

резонанса, когда частота гармонической силы приблизительно равна, в три раза меньше или больше, чем первая или вторая собственная частота вертикальных колебаний, соответственно. Нелинейные произвольные колебания пластины изучались в [159] при помощи дробной производной. Динамический нелинейный отклик на случайное возбуждение шарнирно опертой прямоугольной пластины на основании, демпфирующие характеристики которой описываются моделью Кельвина-Фойгта с дробной производной, рассматривался в [133]. Анализ хаотических колебаний свободно опертой нелинейной вязкоупругой пластины с дробной моделью Кельвина-Фойгта был проведен в [245] для случая, когда пластина подвергается воздействию в плоскости срединной поверхности гармонической силы в одном направлении и поперечной гармонической силы (в вертикальном направлении). Разложение Галеркина использовалось для получения модального уравнения системы, при этом авторы ограничивались только первой модой. Стандартная линейная модель твердого тела с дробной производной была использована в [106] для вязкоупругого слоя с учетом демпфирования геометрически нелинейных колебаний «смарт» композитных пластин с использованием теории пластин более высокого порядка и метода конечных элементов с дискретизацией пластины с помощью восьмиузловых изопараметрических четырехугольных элементов.

Вязкоупругая модель Кельвина Фойгта использовалась Xia и Lukasiewicz [252, 253] для моделирования свободных и вынужденных нелинейных колебаний многослойных прямоугольных пластин со свободно опертыми, подвижными гранями. Авторы рассмотрели два наружных упругих слоя и вязкоупругий средний слой. Численное решение получилось путем непрерывного интегрирования уравнений движения методом Рунге-Кутта. Amabili в своей книге [68] подробно изучил нелинейные колебания пластин аналитически и сравнил с экспериментальными данными. Так, для гиперупругих материалов, например, каучука и силикона, автор использовал различные модели: Муни-Ривлина, neo- Hookean, Ogden и линейного тела.

Динамическое выпучивание и случайное поведение вязкоупругих пластинок, описанные с помощью нелинейных соотношений деформации и перемещений, были изучены Sun и Zhang [241]. Пластина моделировалась в качестве стандартного линейного твердого вязкоупругого материала в виде интегрально­дифференциального динамического уравнения с одной степенью свободы. Россихин и Шитикова использовали производную Римана-Лиувилля дробного порядка для описания вязкоупругости в различных работах [193, 194].

Нелинейные свободные затухающие колебания прямоугольной пластины в работах авторов описываются тремя нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые были рассмотрены, когда пластинка находилась в условиях внутреннего резонанса один-к-одному и внутренних аддитивного или разностного комбинационных резонансов [204, 212].

Методом многих временных масштабов изучались нелинейные колебания прямоугольных пластинок в [234], где численные результаты амплитудных характеристик были построены при помощи метода Рунге-Кутта в программном комплексе Maple. Нелинейный анализ прямоугольных ортотропных пластинок был выполнен Yeh и Liu в статье [257]. Andre Schmidt и Lothar Gaul описали вязкоупругость [221] с помощью дробного представления Грюнвальда, численно, а также методом конечных элементов. Amabili описал в своей работе [71] материал при помощи вязкоупругой модели Кельвина-Фойгта, а также уравнений Дуффинга. Автор сравнил данные методы, расписав потенциальную и кинетическую энергию свободно опертой пластинки, движение которой задал при помощи уравнений Лагранжа. Изучение колебаний вязкоупругой пластинки после продольного изгиба с помощью дробной производной осуществлялось в статьях [82, 139, 140]. Spanos и Malara [159] изучили стохастические нелинейные колебание пластин при помощи дробной производной. Нелинейные колебания от распределенной статической нагрузки свободно опертых пластинок также исследовались в [175], где использовался асимптотический численный метод [91]. В то же время, для изучения вынужденных нелинейных колебаний пластинки применялся метод конечных элементов в [164].

Нелинейные колебания вязкоупругих пластин также рассмотрены отечественными учеными в [142] методом сосредоточенных масс. В работах [152, 153] для описания вязкоупругих свойств пластинки используется модель Зинера и дробная производная Капуто. Существует еще один способ задания вязкости при помощи дробной производной Максвелла [150, 158]. Сравнение дробных производных Капуто и Римана-Лиувилля было представлено в [207]. Свободные колебания в вязкой среде рассматривались профессорами Россихиным Ю. А. и Шитиковой М.В., где гармонический осциллятор базировался на дробной производной Кельвина-Фойгта [195].

Дробная производная рассматривалась в динамике для вязкоупругих материалов в [224], а нелинейные осцилляторы с дробным дифференцированием рассматривались также в [58]. Разнообразие способов решения дробных дифференциальных уравнений и их применения можно найти в [108, 121, 122, 143, 166, 180], описание различных физических процессов при помощи дробной производной можно найти в [41, 198]. Дробное демпфирование нелинейных систем также изучалось в магистерской работе [171].

Теоретические и экспериментальные исследования вынужденных колебаний жестко закрепленных вязкоупругих пластинок были изучены в работе [84], где материал описывался моделью Кельвина-Фойгта, а решение уравнений осуществлялось при помощи метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Испытывались пластинки разной толщины и разного материала (силикон и неопрен), результаты брались с помощью лазерного виброметра. Схожие результаты получены в работе Amabili [70], позже вместе с профессором Breslavsky опубликовали совместную статью [94], в которой изучили физическую и геометрическую нелинейность прямоугольной пластинки, а также получили численные исследования свободных и вынужденных колебаний. Экспериментальные исследования вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы с квадратичной нелинейностью и с внутренним резонансом два-к-одному представлены Найфэ в [171]. В одной из последних работ Amabili [67] было описано сравнение между теорией дробного представления

вязкоупругости и экспериментальными данными. В качестве моделей рассмотрены модели Зинера и Кельвина-Фойгта, а в качестве образцов использовались стальные прямоугольные пластинки, прикрученные к раме. Измерения проводились при помощи лазерного виброметра. После воздействия силы пьезоэлектрические датчики и виброметр фиксировали результаты перемещений. Был рассмотрен случай резонанса, когда частота силы примерно равна собственной частоте пластинки (расчет был произведен в Wolfram Mathematica). Моделирование, эксперимент и сравнения результатов нелинейных колебаний пластинки рассмотрены в [59, 60, 64, 72-74, 93]. Аналитические, численные и экспериментальные методы можно найти в [170].

Вязкоупругая пластинка с дефектом рассматривалась в [267]. Исследовано поведение нелинейных колебаний для симметричных слоистых пластин с угловым слоем, включая вязкоупругость материала и эволюцию разрушения. Используя нелинейную теорию фон Кармана, принципы эквивалентности энергии деформации и суперпозиции Больцмана, получили систему определяющих уравнений нелинейного интегро-дифференциального типа. Для решения систем уравнений применялись метод конечных разностей, метод Ньюмарка и итерационная процедура. Обсуждается влияние амплитуд нагрузки, частоты возбуждения и различных ориентаций слоев на критическое время начала разрушения и нелинейные амплитуды колебаний конструкций. Численные результаты представлены для различных параметров и сопоставлены с имеющимися данными.

1.4.

<< | >>
Источник: Канду Владимир Валерьевич. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИИ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК, НАХОДЯЩИХСЯ В УСЛОВИЯХ ВНУТРЕННЕГО И ВНЕШНЕГО РЕЗОНАНСОВ. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Воронеж - 2019. 2019

Еще по теме Использование дробного исчисления в динамических задачах вязкоупругости:

  1. Постановка задачи
  2. Постановка задачи
  3. Уравнения Муштари-Власова для моделирования нелинейного динамического поведения оболочек и пластинок
  4. ГЛАВА 4. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНКИ НА ВЯЗКОУПРУГОМ ОСНОВАНИИ
  5. 64. Исчисление сроков в гражданском праве.
  6. 65. Исковая давность: понятие, виды, порядок исчисления и применения. Правовые последствия истечения исковой давности.
  7. Оглавление
  8. Основные результаты и выводы
  9. Метод решения
  10. Нелинейные колебания пластинок
  11. Список литературы