<<
>>

3.4. Численные исследования внутреннего резонанса 1:1

Результаты проведенного в программном комплексе Octave численного анализа системы уравнений (2.92)-(2.97) при помощи алгоритма Рунге-Кутта четвертого порядка приведены на рисунках 3.13а-3.15а для свободных и на рисунках 3.13б-3.15б для вынужденных колебаний.

Получены временные зависимости безразмерных амплитуд для шарнирно опертой пластинки при различных характеристиках демпфирования окружающей среды со следующими геометрическими параметрами: β1= 1, β2= 0.08, V = 0.27.a>2= 3.08π,

ω3= 0.23π2, m1= n2= m3= 1, n1= n3= 3, m2= 5, для следующих значений параметра дробности: рисунок 3.13 (γ = 0 и γ = 0.75), рисунок 3.14 (γ = 0 и

γ = 0.5), рисунок 3.15 (γ = 0 и γ = 0.25). Начальные значения безразмерных амплитуд на рисунке 3.13 были приняты следующими: a10= 1.054, a20= 0.909, a30= 0.119, которые соответствуют стационарным колебаниям.

Рисунок 3.13 - Зависимость безразмерных амплитуд колебаний от безразмерного времени T2в случае внутреннего резонанса o1 ≈ co2:а) свободные колебания; б) вынужденные колебания; сплошная линия - a2,пунктирная линия - aι, штрихпунктирная линия - a3

Полученные численные результаты свидетельствуют о том, что наличие внешней гармонической силы с частотой, близкой к частоте вертикальных колебаний co3, не оказывает сильного воздействия на характер поведения безразмерных амплитуд взаимодействующих мод колебаний в плоскости пластинки O1и co2(рисунок 3.13б), благодаря тому, что co3участвует не напрямую в рассмотренном типе внутреннего резонанса (2.52), а опосредованно, через взаимозависимость уравнений (2.92)-(2.97).

Однако внешнее воздействие кардинально меняет характер поведения динамического прогиба: амплитуда a3 затухающих стационарных колебаний переходит в нестационарные колебания.

На рисунке 3.14 приведены огибающие амплитуд для той же пластинки, что и на рисунке 3.13, но при других начальных условиях: a10= a20= a30= 0.5,

которые соответствуют случаю периодических колебаний амплитуд. Как и на рисунке 3.13, видно изменение периода безразмерных амплитуд.

Рисунок 3.14 - Зависимость безразмерных амплитуд колебаний от безразмерного времени T2 в случае внутреннего резонанса ω1 ≈ ω2при aι0= 0.5; а) свободные колебания; б) вынужденные колебания: сплошная линия - a2, пунктирная линия - a1, штрихпунктирная линия - a3

Рисунок 3.15 - Зависимость безразмерных амплитуд колебаний от безразмерного времени Tiв случае внутреннего резонанса ωx≈ω2при ai0= 0.5и σ1= 0 а) свободные колебания; б) вынужденные колебания: сплошная линия - a3, пунктирная линия - a2, штрихпунктирная линия - a1

Из графиков на рисунках 3.14 и 3.15 видно, что в случае внутреннего резонанса один-к-одному с учетом расстройки σ1наблюдается перекачка энергии между тремя подсистемами (рисунок 3.14) в отличие от ситуации, где σ1= 0 (рисунок 3.15). Во втором случае происходит перекачка энергии только между двумя подсистемами при свободных колебаниях, а характер изменения третьей подсистемы под воздействием внешней гармонической силы незначительно влияет на остальные две амплитуды колебаний в плоскости пластинки (рисунок 3.15).

На рисунке 3.15а для незатухающих свободных колебаний амплитуда a3не зависит от времени, что соответствует стационарным колебаниям, но наличие внешнего воздействия нарушает стационарный характер и влияет на амплитуду и на период изменения амплитуд.

Влияние сил демпфирования дробного порядка на свободные нелинейные колебания пластинки для свободных колебаний в случае (2.52) уже обсуждалось в [210]. На рисунке 3.16 приведены зависимости свободных и вынужденных колебаний от параметра дробности γдля прямоугольной пластинки со следующими характеристиками: у =0.27, β1= 4.75, β2= 0.067. Из рисунка 3.16 видно, что увеличение параметра дробности приводит к увеличению периода колебаний и усилению процесса затухания.

Теперь рассмотрим случай (2.52) без учета расстройки между частотами (σ1= 0). Очевидно, что выражения, стоящие в квадратных скобках в уравнениях (2.94) и (2.97), обращаются в ноль при ω1= ω2= ω. Тогда, уравнение (2.94) оказывается независимым от всех других уравнений из системы (2.94)-(2.97): решение которого имеет вид

96

Рисунок 3.16 Зависимость безразмерных амплитуд свободных колебаний от безразмерного времени T2 в случае внутреннего резонанса ω1 ≈ D2при ai0= 0.5,

сплошная линия - a2, пунктирная линия - a1: (а) свободные колебания, и вынужденные колебания при б) f = 3, в) f = 103, г) f = 5 ∙ 103

где c3- постоянная интегрирования, которая определяется из начальных условий, в то время как уравнение (2.97) принимает вид

откуда следует, что фаза колебаний φ3зависит только от квадратов величин всех амплитуд трех взаимодействующих форм колебаний.

Вводя новые функциитак, что

и складывая уравнения (2.94) и (2.93) с учетом (3.27), получим

а вычитая соотношение (2.95) из (2.96), находим

Учитывая соотношения (3.27), уравнение (3.29) перепишем в виде

В частном случае, когдапервый интеграл

для системы уравнений (2.92)-(2.97) принимает вид функции тока

Фазовый портрет, построенный в соответствии с соотношением (3.31), зависит в значительной степени от величины коэффициента K. Линии тока фазовой жидкости на фазовой плоскости ξ-δприведены на рисунке 3.17.

Значения величины Gуказаны цифрами у соответствующих кривых, а направление течения фазовой жидкости показано стрелками на линиях тока.

Рисунок 3.17 - Фазовый портрет для случая внутреннего резонанса ω12,когда K = 0

Из рисунка 3.17 видно, что фазовая жидкость циркулирует внутри зон, ограниченных периметром прямоугольников, границами которых служат прямые линиикак и для случая (2.44). При

этом течение внутри каждого прямоугольника изолировано, как в случае (2.44). На всех четырех сторонах прямоугольников G = 0, а внутри функция G сохраняет свой знак. Функция Gдостигает экстремальных значений ±0.5 в точках с координатам

Вдоль линийреализуется апериодическое

движение, модулированное только по амплитуде, поскольку с течением времени t величина ξвозрастает от ξ0до 1 (вдоль линии δ= -π/ 2) или убывает от ξ0до 0 (вдоль линии δ= π/ 2).

Линии тока дают наглядную связь функции Gсо всеми типами энергообменных механизмов. Так, в случае незатухающих колебаний, т.е. когда

коэффициент демпфирования равен нулю и 5 = 0, точки с координатами =1/2, δ0= +πn (n = 0,1,2,...) соответствуют стационарным режимам. Стационарные точки ξ0=1/2, δ0 = +πnявляются точками «типа центр», так как при слабом отклонении от центра частица фазовой жидкости начинает двигаться вокруг стационарной точки по замкнутой траектории. Замкнутые линии тока соответствуют периодическим изменениям амплитуд и фаз колебаний.

Случай стационарных колебаний, что соответствует точке «типа центр» на фазовом портрете (рисунок 3.17), изображен на рисунке 3.18 при γ = 0 для свободных (рисунок 3.18а) и вынужденных колебаний (рисунок 3.18б), откуда видно, что воздействие внешней силы, частота изменения которой близка собственной частоте, изменяет характер стационарных колебаний и приводит к перекачке энергии между взаимодействующими модами колебаний.

Рисунок 3.18 - Зависимость безразмерных амплитуд свободных колебаний от безразмерного времени Tiв случае внутреннего резонанса 1:1 при V = 0.27,

колебания при f = 2 ∙ 104: сплошная линия - a2,пунктирная линия - a∖

Рассмотрим случай (2.102) без учета расстройки (σ1= 0). На рисунке 3.19 изображена зависимость безразмерных амплитуд от безразмерного времени T2 для пластинки со следующими параметрами: β1= 2.5, β1= 0.12 и у = 0.27 .

Рисунок 3.19 - Зависимость безразмерных амплитуд свободных колебаний от вынужденные колебания при f = 10; сплошная линия - α2, пунктирная линия - a1

3.5.

<< | >>
Источник: Канду Владимир Валерьевич. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИИ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК, НАХОДЯЩИХСЯ В УСЛОВИЯХ ВНУТРЕННЕГО И ВНЕШНЕГО РЕЗОНАНСОВ. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Воронеж - 2019. 2019

Еще по теме 3.4. Численные исследования внутреннего резонанса 1:1:

  1. Численные исследования внутреннего резонанса 1:1:2
  2. Численные исследования внутреннего резонанса два-к-одному
  3. Численные исследования комбинационных резонансов аддитивно­разностного типа
  4. ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
  5. Численные исследования
  6. Внутренний резонанс
  7. Внутренний резонанс 1:1:2
  8. Внутренний резонанс 1:1:1
  9. Численныеисследования внутреннего резонанса 1:1:1
  10. Явление внутреннего резонанса при нелинейных колебаниях.
  11. Висячие мосты и их роль в обнаружении внутреннего резонанса
  12. ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНОК В УСЛОВИЯХ СОЧЕТАНИЯ ВНУТРЕННЕГО И ВНЕШНЕГО РЕЗОНАНСОВ
  13. На данном шаге были получены три типа внутреннего резонанса (2.44)-(2.46), рассмотрим подробно каждый их них.
  14. Нелинейные разрешающие дифференциальные уравнения, описывающие амплитудно-фазовую модуляцию для различных типов внутреннего резонанса порядка ε2
  15. Нелинейные разрешающие дифференциальные уравнения, описывающие амплитудно-фазовую модуляцию для различных типов внутреннего резонанса порядка ε
  16. Теплотехнические исследования стеновых конструкций с внутренними поверхностями, имеющими различные коэффициенты излучения