Численные исследования внутреннего резонанса два-к-одному

Рассмотрим случай наложения внешнего резонанса (2.59) на внутренний резонанс (2.44). Приближенное решение системы нелинейных уравнений (2.64)­(2.69) может быть найдено при помощи аналитического метода вариаций произвольных постоянных.

78

Рисунок 3.1 - Алгоритм определения амплитуд и фаз нелинейных колебаний пластинки в условиях сочетания внутреннего и внешнего резонансов при помощи классического метода Рунге-Кутта четвертого порядка

решение которой имеет вид

гдеі - начальные значения амплитуд и фаз колебаний,

определяемые из начальных условий (2.5) и (2.6).

Все последующие приближения определяются от неоднородных систем дифференциальных уравнений с известными правыми частями. Так, подставляя найденное решение на нулевом шаге (3.7)-(3.12) в неоднородную систему уравнений (2.64)-(2.69), получим

80

Решение дифференциальных уравнений (3.13)-(3.16) имеет вид

81

Так как общее решение такой системы является суммой двух решений, частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы, то произвольные константы могут быть выбраны таким способом, что начальные условия всех последующих приближений будут нулевыми. Так, для первого приближения константы принимают вид

Таким образом, соотношения (3.17)-(3.20) определяют аналитическое решение для случая внутреннего резонанса cd₁ = 2ω₃с точностью до первого приближения при любом значении параметра дробности, отличном от нуля, т.е. в диапазоне 0