Распределение Ферми–Дирака

Квантовая статистика Ферми–Дирака описывает идеальный газ из фермионов – ферми–газ.

Распределение Ферми–Дирака – закон , выражающий распределение частиц по энергетическим состояниям в ферми–газе: при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i–ом состоянии с энергией E_i при температуре Т равно:

.

Из этой формулы следует, что _Ф-Д не может быть больше единицы. Это означает, что в одном квантовом состоянии не может находиться более одной ферми–частицы, что согласуется с принципом Паули

Химический потенциал для фермионов может быть только положительным ( μ > 0 ). Иначе при числа заполнения стали бы равными нулю, чего естественно быть не может.

Для случая малых чисел заполнения ( _Ф-Д E_F(0)

Здесь Е_F(0) – значение энергии Ферми при Т = 0.

Полученные результаты показывают, что все квантовые состояния с энергиями E < E_F(0) оказываются занятыми фермионами, а все состояния с энергиями E > E_F(0) – свободными.

Физический смысл энергии Ферми заключается в том, что при энергия Ферми E_F(0) является максимальной энергией , которой могут обладать фермионы.

15-3

Ниже приведены графики зависимости от Е при Т = 0 (слева) и при Т (справа)

При Т = 0 распределение Ферми–Дирака представляет собой ступенчатую функцию единичной высоты, обрывающуюся при Е = Е_F(0).

При температуре отличной от нуля резкий скачок _Ф-Д от единицы до нуля становится более размытым и происходит в области энергий, ширина которой порядка kT

При любой температуре отличной от нуля при E = E_F.

Наряду с энергией Ферми E_F при анализе поведения ферми-частиц вводится также импульс Ферми p_F и скорость Ферми υ_F , определяемые соотношениями

и .

Это максимальные импульс и скорость, которыми может обладать ферми-частица с массой т_о при температуре Т = 0.