Распределение Бозе – Эйнштейна

Идеальный газ из бозонов (бозе–газ) – описывается квантовой статистикой Бозе –Эйнштейна.

Распределение Бозе–Эйнштейна – закон, выражающий распределение частиц по энергетическим состояниям в бозе–газе: при статистическом равновесии и отсутствии взаимодействия среднее число частиц в i - ом состоянии с энергией Е_i при температуре системы Т равно

_Б-Э = , где

k – постоянная Больцмана,

T – термодинамическая температура,

μ – химический потенциал – термодинамическая функция состояния, определяющая изменение внутренней энергии ( и, вообще говоря, других термодинамических потенциалов) системы при изменении числа частиц в системе, при условии, что все остальные величины, от которых зависит внутренняя энергия (энтропия, объём, и т.д.), фиксированы.

Одним из условий термодинамического равновесия системы является равенство химического потенциала для всех частей системы.

Для систем бозонов с постоянным числом частиц химический потенциал может принимать только отрицательные значения ( μ < 0 ).

Величину называют также числом заполнения энергетического уровня с энергией Е_i ( далее будем для краткости писать просто Е ).

Из анализа распределения Б – Э следует, что число бозонов, находящихся на одном энергетическом уровне ( в одном состоянии ), ничем не ограничено и при малых значениях параметра может оказаться очень большим, а при Е = 0 в системе бозонов может происходить бозе – конденсация , с которой связаны такие явления, как сверхпроводимость и сверхтекучесть.

14-3

Рассмотрим случай малых чисел заполнения ( будем считать

> 1 или при >> 1 . Тогда можно записать

, где А = .

Отсюда следует, что при малых числах заполнения, или, как говорят, в случае разреженного газа бозонов распределения Б – Э переходит в классическое распределение Максвелла – Больцмана.

I – статистическое распределение Максвелла – Больцмана;

II–статистическое распределение Бозе – Эйнштейна

Газ, свойства которого в силу тождественности частиц в квантовой механике отличаются от свойств классического идеального газа, называется вырожденным газом.

Газ бозонов является вырожденным. Только в случае, когда