Представление физических величин операторами в квантовой механике

Второй постулат квантовой механики - каждой физической величине соответствует определённый оператор этой физической величины. При этом соотношения между операторами в квантовой механике имеют ту же структуру, что и соотношения между соответствующими им физическими величинами в классической механике.

1. Оператор координаты

; ; .

.

2. Оператор импульса

; ; ;

.

3. Оператор квадрата импульса

4. Оператор момента импульса

=

5. Оператор квадрата момента импульса

7 - 3

При решении задач часто бывает удобно записывать в cферической

системе координат ( r, θ, φ )

, где

- угловая часть оператора Лапласа в

сферической системе координат

6.

Кинетическая энергия в классической механике

В соответствии со вторым постулатом получаем

Для потенциальной энергии в стационарном силовом поле

получаем: .

Оператор полной энергии

Этот оператор называют оператором функции Гамильтона или

гамильтонианом, который является основным оператором квантовой механики, определяющим все особенности квантовой системы.

Уравнение Шрёдингера в операторной форме принимает вид:

Временное –

Для стационарных состояний –

Для чего используются операторы квантовой механики?

Во первых: для определения среднего значения любой физической величины.

Во вторых: состояние, в котором физическая величина Q имеет определённое значение ( так называемое собственное состояние ), описывается Ψ-функцией, являющейся решением уравнения

Примером такого уравнения является уравнение Шрёдингера для стационарного состояния.

Физический смысл могут иметь лишь такие решения этого уравнения, которые всюду конечные, однозначные, непрерывные и гладкие. Эти условия называются естественными или стандартными.

7 - 4

Функции, являющиеся решением данного уравнения и удовлетворяющие естественным условиям называются собственными функциями оператора .

Те значения величины Q , при которых эти решения существуют, называются собственными значениями физической величины Q , например, собственные значения энергий в потенциальных ямах.

Набор (спектр) собственных значений физической величины Q иногда оказывается непрерывным, а иногда дискретным. Примером дискретности в микромире являются оптические спектры атомов, которые состоят из ряда отдельных тонких линий.

Рассмотрим несколько задач о нахождении спектров собственных значений:

1). Координата х

и т.е. спектр непрерывный.

2). Проекция импульса р_х

Функция Ψ определена при всех значениях р_х т.е. спектр собственных значений р_х непрерывен ( ).

3). Проекция момента импульса L_z

Собственные функции оператора должны быть однозначными функциями. Так как угловая координата φ является циклической переменной, то условие однозначности собственной функции сводится к условию её периодичности :

Тогда , где Следовательно спектр дискретный.

Значение константы выбрано из условия нормировки

7 - 5

4). Квадрат момента импульса L²

Спектр собственных значений оператора оказывается дискретным, т.е. уравнение имеет решения только для значений

, где l = 0; 1; 2; 3; …

Собственные функции оператора имеют вид:

l = 0; 1; 2; 3; … .

Задача

Найти собственные значения оператора , принадлежащее собственной функции , где С – постоянная.

Решение:

Т.к. то .

Но

Следовательно А =4 .