Операторы физических величин

Ранее было сказано, что состояние квантовой частицы определяется не координатами и импульсом, а заданием Ψ-функции, вид которой зависит от конкретного потенциального поля ( 1-ый постулат квантовой механики ).

Таким образом Ψ-функция полностью определяет не только «положение» частицы, но и все её динамические характеристики.

Для получения информации о физических величинах, связанных с движущейся частицей, в квантовой механике разработан специальный математический аппарат, в котором используют операторы физических величин и результаты их действия на волновую функцию.

Оператором называют символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с интересующей нас функцией. Примером оператора могут служить умножение на х , или на какую-либо функцию f(x), дифференцирование по х т.е. ; , операторы набла - , лапласиан - и т.д.

В квантовой механике операторы принято обозначать буквами со «шляпкой», например , , а его действие на некоторую функцию f( x ) записывают как .

Некоторые свойства операторов:

1). Операторы можно складывать: . Действие такого суммарного оператора на любую функцию f( x) даёт результат

2).

.

Т.е. функция f(x) сначала подвергается действию оператора , а затем полученный результат – действию оператора .

Следует иметь ввиду, что не всегда . Если такое равенство соблюдается, то это значит, что операторы и коммутируют друг с другом (коммутирующие операторы ).

Пример некоммутирующих операторов – это х и :

, а .

7 - 2

3). Оператор называют линейным, если для любых двух функций f₁ и f₂ и любых постоянных а₁ и а₂ выполняется соотношение

.

С линейностью операторов связан принцип суперпозиции состояний.

4). Если то .