Лекция 4 Соотношения неопределённости

В классической физике исчерпывающее описание состояния частицы определяются динамическими параметрами, такими как координаты, импульс, момент импульса, энергия и др.

Отличие микрочастицы от макроскопической частицы заключается в том, что существует принципиальный предел точности, с которой подобные параметры могут быть указаны и измерены.

Отличие микрочастицы от электромагнитной волны состоит в том, что свет, используя, например, полупрозрачное зеркало, можно разделить на две части и отдельно исследовать каждую из них. Микрочастица во всех опытах проявляет себя как единое целое. Нельзя наблюдать часть электрона или нейтрона.

Пусть электроны падают нормально на непрозрачную преграду, в которой имеется щель АВ шириной ∆х

Если падающие электроны обладают определённым импульсом р₀ , то этим электронам соответствует плоская волна с и волновым вектором

Поскольку волна распределена по всему пространству, то каждый электрон до прохождения через щель имеет точно определённый импульс ( p_x= 0, p_y= p₀, p_z= 0 ) и неопределённую координату х.

При прохождении электрона через щель ситуация существенным образом меняется. Неопределённость координаты х становится равной

ширине щели ∆х, но при этом появляется неопределённость проекции импульса ∆р_х , обусловленная дифракцией электронов на щели.

4 - 2

Согласно теории дифракции .

Принимая, что ∆р_х ~ p_x , получаем

.

Более строгий вывод, полученный немецким физиком Гейзенбергом, даёт следующий результат

Это соотношение называется соотношением неопределённости Гейзенберга.

Для других координатных осей:

и .

В то же время не существует никаких принципиальных ограничений на точность определения координаты и проекции импульса на другую координатную ось, например, ∆х и ∆р_у.

Соотношение Гейзенберга задаёт теоретический предел точности измерения характеристик микрочастицы, но никак не связано с погрешностью измерений конкретных измерительных приборов.

На практике для оценочных расчётах часто используют соотношение

∆х^.∆р_х

С помощью соотношения неопределённостей можно получать важные физические результаты, а также проводить численные оценки, не прибегая к точному но трудоёмкому решению задачи.

Рассмотрим для примера атом водорода и будем считать, что электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиуса r со скоростью v

Будем считать, что ∆х = r , a ∆p = p = m_eυ. Тогда r ^.m_eυ и

м

Следовательно, радиус орбиты электрона, т.е.

4 - 3

Кроме координат и проекций импульса существуют другие пары физических величин, которые не могут быть измерены одновременно точно. Особо следует выделить соотношение, которое называется соотношением неопределённости для энергии и времени

∆Е^.∆t .

Система, имеющая среднее время жизни ∆t , не может быть охарактеризована определённым значением энергии. Разброс энергии возрастает с уменьшением времени жизни системы и частота излучения также должна иметь неопределённость , т.е. спектральные линии должны иметь конечную ширину (уширение).

Следствия из соотношений неопределённостей:

1) Для частиц с высокой энергией и ∆х 10^{-6 м} неопределённость импульса ∆р_х = ~ 10^{-28 кг.}м/с ,что значительно меньше значения самого импульса р. Это означает, что для описания поведения таких частиц должна применяться классическая механика и можно говорить о траектории частицы ( для этих частиц λ_Б оказывается очень малой ).

2) Если ∆х = а , то ∆р_х . Полагая р_{х мин}∆р_{х мин} находим минимальную (не равную нулю) энергию микрочастицы

Е_мин= ,

т.е.

3) Теряет смысл деление полной энергии частицы на кинетическую и потенциальную. Кинетическая энергия зависит от импульса частицы, а потенциальная энергия от её координаты. Но координата и импульс не могут одновременно иметь определённые значения. Равенство Е = К + U для мгновенных значений невозможно (в квантовой механике принято потенциальную энергию обозначать буквой U ). Такое равенство справедливо лишь для средних значений энергии

= + .

4 - 4

Задача

Частица массы т движется в одномерном потенциальном поле, где её потенциальная энергия (гармонический осциллятор).

Оценить с помощью соотношения неопределённостей минимально возможную энергию Е_мин частицы в этом поле.

Решение:

p_x= + ∆p_x , где 0 при Е = Е_мин . Тогда

Е = Е_мин если

И окончательно .

Статистический смысл волновой пси-функции

Для микрочастиц из-за соотношения неопределённостей теряет смысл классическое определение состояния частицы (координаты и импульса).

В соответствии с корпускулярно-волновым дуализмом в квантовой теории состояние частицы задаётся пси-функцией Ψ(, t) , которая является комплексной величиной и формально обладает волновыми свойствами.

Движение любой микрочастицы по отдельности подчиняется вероятностным законам. Распределение вероятности, характеризующее это движение, проявляется в регистрации достаточно большого числа частиц. Это распределение оказывается таким же, как распределение интенсивности волны: там, где интенсивность волны больше, регистрируется и большее число частиц.

В квантовой теории постановка вопроса состоит не в точном предсказании событий, а в определении вероятностей этих событий, по которым по определённым правилам рассчитывают средние значения физических величин.

Пси-функция Ψ() и является той величиной, которая позволяет находить эти вероятности.

Квантовая механика базируется на нескольких постулатах. Правильность этих постулатов может быть подтверждена сравнением предсказаний квантовой механики с результатами экспериментов.

4 - 5

Первый постулат квантовой механики гласит: состояние частицы в квантовой механике описывается волновой функцией Ψ ( x, y ,z ,t ), являющейся функцией пространственных координат и времени и имеющей вероятностный смысл т.е. определяющей вероятность нахождения частицы в различных областях пространства.

Если w = - плотность вероятности того, что в момент времени частица может быть обнаружена в точке пространства М = М(х,y,z) то

w = Ψ^.Ψ* = , где

Ψ* - функция, комплексно сопряжённая с функцией Ψ , являющейся в общем случае комплекснозначимой функцией.

Вероятность того, что частица будет обнаружена в любой области пространства конечного объёма V можно рассчитать

Так как вероятность нахождения частицы во всём пространстве равна единице, то

Иногда интеграл берётся не по всему пространству, а по той области, в которой Ψ-функция отлична от нуля.

Данное соотношение называют условием нормировки волновой функции, которое означает, что во всей области, где , частица находится с достоверностью.

На волновую Ψ-функцию накладываются определённые ограничения – так называемые условия регулярности волновой функции:

1) Условие конечности – волновая функция не может принимать бесконечные значения.

2) Условие однозначности – волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени.

3) Условие непрерывности - в любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Непрерывными должны быть также частные производные ; и .

4 - 6

Принцип суперпозиции квантовых состояний: если частица может находится в квантовом состоянии Ψ₁ , а также в другом квантовом состоянии Ψ₂ , то эта частица может также находится в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией

Ψ = С₁Ψ₁ + С₂Ψ₂ , где

С₁ и С₂ - в общем случае комплексные числа.

Для нормированных функций

Уравнение Шрёдингера

В классической механике волновым дифференциальным уравнением называют уравнение вида

.

Например, для электромагнитной волны имеем

.

В квантовой механике общее временное уравнение Шредингера позволяет определить в любой момент времени волновую функцию Ψ для частицы массой т_О, движущейся в силовом поле = , описываемом скалярной потенциальной функцией U(x, y, z, t)

.

i = - мнимая единица;

- оператор Лапласа в декартовых координатах;

- оператор Лапласа в сферических координатах.

Уравнение Шрёдингера, как и законы классической механики Ньютона, законы термодинамики, уравнения Максвелла для электродинамики не может быть выведено. Его следует рассматривать как некоторое научное положение, справедливость которого подтверждается данными экспериментов в атомной и ядерной физике.

4 - 7

В квантовой механике существует класс задач о движении в силовых полях, для которых силовая функция не зависит от времени, т.е

.

.

Такие силовые поля называют стационарными силовыми полями. В этом случае силовая функция имеет смысл потенциальной энергии частицы.

В стационарных полях квантовая система может находится в состояниях с определённым значением энергии Е.

Уравнение Шрёдингера для стационарных состояний имеет вид

.

Это уравнение надо вызубрить так, чтобы от зубов отскакивало !!!