Квантовый гармонический осциллятор ( параболическая потенциальная яма)

Гармоническим осциллятором называется система, способная совершать гармонические колебания. Примером таких колебаний в квантовой механике являются колебания атомов в твёрдых телах, молекулах и т.д.

На рисунке слева изображена потенциальная энергия U взаимодействия атомов в двухатомной молекуле ( типа NaCl ) в зависимости от расстояния r между ядрами атомов. Из вида кривой U( r ) следует, что атомы в молекуле могут совершать колебания относительно равновесного расстояния r₀ между ядрами.

Квантово-механическая задача о гармоническом осцилляторе сводится к задаче о движении частицы вдоль оси ох в параболической потенциальной яме под действием возвращающей квазиупругой силы (рисунок справа) F_x = – kx .

Выражение для потенциальной энергии такого осциллятора имеет вид

, где

- собственная частота классического гармонического осциллятора.

Графиком этой функции U( x ) является парабола.

Точки х = – а₀ и х = а₀ , в которых полная энергия E = U( x ) , являются для частицы точками поворота.

Амплитуду колебаний находим из выражения

.

6 - 2

Уравнение Шрёдингера в данном случае имеет вид

.

Это уравнение имеет конечные, однозначные, непрерывные и гладкие решения (собственные функции) при собственных значениях Е , равных

, где n = 0, 1, 2, 3, …

Энергетические уровни расположены на одинаковом расстоянии друг от друга .

Минимальная энергия и её называют нулевой энергией.

Отличие от нуля минимальной энергии осциллятора характерно для всех квантовых систем и является следствием принципа неопределённости.

Для квантового осциллятора возможны переходы лишь между соседними «стационарными» уровнями , при которых квантовое число n изменяется на единицу ∆n = ( правило отбора ) . При каждом из этих переходов испускается или поглощается фотон с энергией , где его циклическая частота.

На следующем рисунке приведены графики распределения плотности вероятности Ψ²( х ) месторасположения частицы при n = 0 , 1, 2, 9.

n = 0 n = 1 n = 2 n = 9

Жирными отрезками на оси ох показаны интервалы, на концах которых E = U. Классическая частица при колебаниях за пределы интервала заходить не может. Квантовая частица может быть обнаружена и вне пределов этих интервалов.

6 - 3