Электронный газ в металлах

Модель свободных электронов в металлах предполагает, что при образовании кристаллической решётки от атомов отщепляются некоторые слабее всего связанные с ними (валентные) электроны.

15-4

В случае Т = 0 электроны располагаются на самых нижних доступных для них энергетических уровнях.

Согласно принципу Паули, на

каждом энергетическом уровне будет находиться по два электрона с различной ориентацией спинов

Если число электронов в металле равно N, то при Т = 0 будут заполнены первые N/2 уровней с энергией E . Число заполненных и свободных энергетических уровней очень велико, и они расположены настолько плотно, что энергетический спектр электронов можно считать квазинепрерывным.

Найдём функцию распределения электронов проводимости по энергиям.

Число электронов dN, энергия которых лежит в интервале от Е до равно

, где

- плотность квантовых состояний электронов в

металле . т.е. число состояний, приходящихся на единичный энергетический интервал.

Полное число свободных электронов в металле

N = = V

Концентрация электронов п в металле

п = = .

15 – 5

Функция

F(E) = =

называется функцией распределения свободных электронов по энергиям.

С помощью функции распределения F(E) можно найти среднее значение любой физической величины Q, зависящей от Е

При Т = 0 функция F(E) имеет вид

F(E) =

Распределение электронов по энергиям описывается выражением

dn =

Из физического смысла функции распределения следует, что площадь под кривой F(E) численно равна концентрации п свободных электронов в металле.

Верхний предел интегрирования для вычисления п при Т = 0 нужно брать равным E_F(0). Тогда интегрируя, получаем

п = .

15 – 6

Отсюда находим E_F(0):

E_F(0) =

Расчёты показывают, что энергия Ферми электронного газа в металлах составляет несколько электрон–вольт.

Наряду с энергией Ферми вводится понятие температуры Ферми Т_F, которая определяется следующим образом:

kT_F = E_F(0) .

Ниже представлено схематическое распределение электронов по энергетическим уровням при Т > 0

Все состояния, энергия которых меньше энергии Ферми на величину порядка kT, заняты электронами. Все состояния, энергия которых превосходит энергию Ферми на величину порядка kT, оказываются свободными. В области энергий шириной порядка kT вблизи энергии Ферми имеются уровни, частично заполненные электронами. Только электроны, заполняющие уровни в этой области, могут принимать участие в различных физических процессах в металлах. Только их энергия может изменяться в ходе этих процессов.

Зависимость F(E) при Т> 0 имеет участки S₁ и S₂ , площади которых одинаковы и определяют число электронов в единице объёма металла, перешедших при нагреве образца с заполненных уровней (S₁) на незаполненные (S₂).

15 – 7

Интеграл п = позволяет получить приближённое значение E_F при E_F >> kT.

.

Условие E_F >> kT выполняется для всего диапазона температур, при котором металлы существуют в твёрдом виде, а при температуре близкой к комнатной .